Razionalità e unirazionalità su campi non algebricamente chiusi

Il titolo della tesi è "Razionalità e unirazionalità su campi non algebricamente chiusi". L'obiettivo infatti è quello di introdurre il problema della razionalità per le varietà algebriche, tenendo conto del campo su cui si sta lavorando. Considerando campi non algebricamente chiusi, si rende quindi necessario spiegare cosa significa che una varietà è "definita su un campo k", che "ammette un k-punto", o che è "k-razionale". Seguendo il testo di riferimento, "Rational and Nearly Rational Varieties" di Kollar, Smith e Corti, ho trattato innanzitutto il caso delle curve, per cui il problema è completamente risolto. Successivamente mi sono concentrato sul caso delle ipersuperfici quadriche, in generale e poi più nello specifico su quelle definite su campi finiti; infine sulle ipersuperfici cubiche. Qui, mentre il problema nel caso singolare è relativamente semplice, la questione della razionalità nel caso liscio è decisamente più complessa, e già su campi algebricamente chiusi è ancora aperta in dimensione almeno 4. Ho allora approfondito un criterio generale per l'unirazionalità delle superfici lisce (poi generalizzato a tutte le ipersuperfici di dimensione almeno 2) e alcuni esempi sia razionali sia non razionali. In particolare, mi sono concentrato su un esempio (5.20) dovuto a Swinnerton-Dyer, sul quale i risultati non sembrano essere del tutto in accordo con quelli del testo di Kollar.