Algebre di Lie con tensore di Ricci negativo

Un'algebra di Lie reale (o complessa) g è uno spazio vettoriale reale (o complesso) dotato di una mappa bilineare che soddisfa la proprietà antisimmetrica e l'identità di Jacobi. Lo studio di un'algebra di Lie e lo studio del suo gruppo di Lie connesso associato sono due approcci equivalenti perché esiste una corrispondenza biunivoca tra prodotti scalari su un'algebra di Lie e metriche invarianti a sinistra del gruppo di Lie associato. Nel caso generale, non esistono ostruzioni topologiche affinché una varietà differenziabile ammetta una metrica Riemanniana completa con tensore di Ricci definito negativo. Alcuni autori sono riusciti a classificare tali gruppi di Lie nel caso unimodulare perché un gruppo di Lie unimodulare reale con metrica invariante a sinistra con tensore di Ricci negativo è semisemplice e non-compatto. Però la classificazione di tale tipo di gruppi di Lie costituisce ancora un problema aperto. L'obbiettivo di questa tesi è analizzare alcune condizioni per cui un'algebra di Lie ammette un prodotto scalare con tensore di Ricci negativo. Sono presi in considerazione i gruppi di Lie unimodulari con metrica invariante a sinistra con curvatura di Ricci negativa; si ottiene che non esistono gruppi di Lie unimodulari risolubili che ammettano una metrica invariante a sinistra con tensore di Ricci negativo. Sono studiati i gruppi di Lie SL(n,R) per n>=2 in due casi distinti: per n=2 e per n >= 3. La condizione affinché un gruppo di Lie semplice ammetta una metrica invariante a sinistra con tensore di Ricci negativo dipende dalla norma della radice massimale e della radice minimale. Nell'ambito di alcune algebre di Lie non-semisemplici, l'algebra di Lie u(2)*V, dove * è il prodotto semidiretto e pi è una rappresentazione reale di su(2) su V, è presa in considerazione nei casi in cui pi è rappresentazione pari, dispari e completamente riducibili. Le algebre di Lie non-semisemplici (R Z + u)* V, dove + è la somma diretta, * è il prodotto semidiretto, u è un'algebra di Lie compatta semisemplice e pi è una rappresentazione reale di u su V, ammettono un prodotto scalare con curvatura di Ricci negativa se sono soddisfatte certe condizioni su una rappresentazione di u. In questo contesto tale teorema è applicato nei casi in cui u sia la forma reale compatta di un'algebra di Lie di tipo A_n, B_n, C_n o D_n e V=W_n=P_n(C^m); quest'ultimo è lo spazio dei polinomi omogenei visto come spazio vettoriale reale. Tre criteri aventi condizioni che riguardano i pesi di una rappresentazione complessa di u_C facilitano l'applicazione del teorema. Usando tale teorema si possono ottenere risultati più generali, quindi sono studiate le algebre di Lie (R Z + u)*V, dove pi è una rappresentazione reale di u su V, V=W_1+...+ W_k e W_i è un u-sottomodulo, e le algebre di Lie (R Z + u) * n, dove n è un'algebra di Lie reale nilpotente. Infine è presa in considerazione la condizione necessaria e la condizione sufficiente affinché un'algebra di Lie risolubile reale ammetta un prodotto scalare con curvatura di Ricci negativa.