Gruppi Fuchsiani e teorema di Poincaré

Questo elaborato si colloca nel campo della geometria non euclidea, in particolare si concentra su quella iperbolica. Il semipiano di Poincaré, ovvero il semipiano superiore complesso, è preso come modello di riferimento. Lo scopo della tesi è di approfondire la conoscenza del suo gruppo di isometrie, con uno sguardo particolare ai suoi sottogruppi discreti che preservano l'orientazione, chiamati gruppi Fuchsiani. La loro azione è caratterizzata dall'essere propriamente discontinua: sotto questo tipo di azione si definisce una regione fondamentale in grado di tassellare completamente lo spazio. Il testo fornisce un modo esplicito per costruire una regione fondamentale partendo da un gruppo Fuchsiano e offre un modo per trovare i generatori del gruppo stesso, partendo dalla regione. Il teorema di Poincaré porta avanti l'idea: fornisce le condizioni che un poligono arbitrario deve soddisfare per essere fondamentale e, in quel caso, fornisce nuovamente un modo per definire i generatori del gruppo sotto il quale il poligono ricopre lo spazio.

This elaborate has its place in the field of the non-Euclidean geometry, in particular it focuses on the hyperbolic one. The half plane of Poincaré, the complex upper-half plane, is taken as reference model. The aim of this thesis is to deepen the knowledge about its isometry group, especially with regards to its orientation-preserving discrete subgroups, called Fuchsian groups. Their action is characterized by being properly discontinuous: under this kind of action it is defined a fundamental region able to fully tessellate the space. The text provides an explicit way to build a fundamental region starting from a Fuchsian group and it offers a way to find the generators of the group itself starting from the region. The Poincaré's theorem pursues the idea: it presents the conditions that an arbitrary polygon should have in order to be fundamental and, in that case, it gives again the way to define the generators of the group under which the polygon covers the space.