Giochi Combinatori

In questa tesi abbiamo studiato i giochi combinatori tramite la teoria di Sprague-Grundy ed i numeri surreali. Nel primo capitolo introduciamo la teoria dei giochi combinatori. De?finiamo cos'è un gioco combinatorio ed il suo grafo associato, cosa sia una posizione vincente e la funzione di Grundy che permette di associare un numero naturale ad ogni posizione. Vediamo poi cos'è la somma di due giochi, come sia possibile scomporre un gioco complesso nella somma di giochi semplici e come trovare le strategie vincenti. In?ne applichiamo la teoria al gioco Green Hackenbush. Nel secondo capitolo vengono studiati i numeri surreali. Essi sono una classe di numeri che include tutti i numeri reali ed in?niti numeri addizionali i quali sono più grandi o più piccoli di tutti i numeri reali. Viene data prima un'idea intuitiva di cosa sia un numero surreale e successivamente vengono de?niti rigorosamente, de?nite le operazioni, studiati e costruiti alcuni numeri particolari. Nel terzo capitolo vediamo come sono legati i giochi ed i numeri sur- reali attraverso due applicazioni. Il Red-Blue Hackenbush è una versione più complessa del Green Hackenbush e vediamo in particolare come certe posizioni possano essere rappresentate solo con i numeri surreali. Il Sylver Coinage, inventato da Conway per mostrare una categoria di giochi, è un altro particolare gioco la cui funzione di Grundy assume valori surreali.