Divisori, teorema del cono e contrazioni estremali.

In geometria algebrica uno degli obiettivi principali è classificare le varietà proiettive a meno di isomorfismi. Tuttavia, questo è un problema che presenta numerose difficoltà e per affrontarlo è utile iniziare da un problema più semplice, ovvero la classificazione delle varietà proiettive a meno di equivalenza birazionale. In questo contesto si è rivelato molto utile lo studio dei divisori che ha fornito diversi strumenti per distinguere le classi di equivalenza birazionale. Lavoriamo su varietà proiettive non singolari irriducibili su un campo algebricamente chiuso di carattestica 0. L'obiettivo della tesi è di presentare parte della teoria sui divisori e alcune applicazioni dei risultati trovati. La tesi è strutturata come segue. Nel capitolo 1 introduciamo i divisori su una varietà proiettiva liscia. Li presentiamo in tre modi equivalenti e vediamo la costruzione che permette di associare a ogni divisore una mappa razionale. Nel capitolo 2 studiamo alcune tipologie di divisori particolarmente importanti: i divisori molto ampi, ampi, globalmente generati, semiampi, nef e big. Infine nel capitolo 3 ci concentriamo sul caso delle superfici proiettive lisce. Vediamo come i divisori permettono di studiare le superfici cubiche in P^3, presentiamo le dimostrazioni del teorema del cono e del teorema della contrazione. Concludiamo mostrando un'applicazione dei risultati ottenuti al programma dei modelli minimali per le superfici.