Curve e superfici approssimanti tipo-Bézier per il controllo della monotonia

Nel disegno geometrico assistito dal computer e nella grafica computerizzata, le curve sono spesso definite dalla combinazione lineare di funzioni reali dette funzioni di miscelamento e punti detti punti di controllo. Una delle più importanti classi di funzioni di miscelamento è data dai polinomi di Bernstein, utilizzando i quali sono generate le curve di Bézier. Una volta fissati i punti di controllo, la forma di tali curve non può più cambiare, a meno di modificare la posizione dei punti di controllo: questo è un limite che riduce la flessibilità della forma della curva e, di conseguenza, anche il suo utilizzo. Per risolvere questo problema, molti ricercatori hanno provato a costruire funzioni di base dipendenti da uno o più parametri di forma in modo da creare nuove curve le cui strutture e proprietà siano simili a quelle delle curve di Bézier, ma che abbiano in aggiunta maggiore flessibilità nella variazione della forma. Facendo variare i parametri di forma, la curva si avvicina o si allontana dal poligono di controllo. In questa tesi presentiamo una nuova famiglia di funzioni di miscelamento basate su parametri e radici quadrate di polinomi: sono le funzioni di base-sq. Le nuove funzioni di miscelamento sono generate da tre funzioni di base iniziali generate da una formula ricorsiva. Le corrispondenti curve tipo-Bézier, dette curve-sq, hanno in comune con le curve di Bézier classiche molte proprietà, come l'invarianza geometrica, l'interpolazione agli estremi dell'intervallo, la simmetria e la proprietà dell'inviluppo convesso. Le funzioni di base-sq sono dotate di un parametro di forma, che permette di modificare la forma della curva e avvicinarla o allontanarla dal poligono di controllo. Nelle curve-sq con tre punti di controllo, variando solamente il parametro di forma, si può ottenere una famiglia di curve che si muovono dal poligono di controllo fino alla retta che congiunge il primo e l'ultimo punto di controllo. Confrontandole con altre funzioni di miscelamento con la stessa struttura, le curve-sq hanno il vantaggio di fornire una elevata flessibilità, ottenuta grazie ad un solo parametro. La costruzione delle curve-sq può essere estesa alle superfici, che hanno molte proprietà in comune con le superfici di Bézier. Una volta ottenuto un modello adatto per l'approssimazione dei dati, è possibile utilizzarlo per conservare la forma di tali dati. Limitatezza, positività, monotonia e convessità sono le più importanti proprietà di forma. Le curve-sq e le superfici-sq sono un promettente strumento di approssimazione che permette di conservare limitatezza e monotonia dei dati assegnati.