Continuità per restrizione

Sia $W$ uno spazio topologico e $\mathcal{P}(W)$ l'insieme delle parti di $W$. Consideriamo la proprietà $P(W\,,\,\mathscr{D})$: presa una funzione $f : W \rightarrow \mathbb{R}$ se $f_{|_{D}}$ è continua per ogni $D \in \mathscr{D}$ allora $f$ è continua. Lo scopo principale di questo lavoro è analizzare $P(W\,,\,\mathscr{D})$ nel caso in cui $W = \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$. Come prima cosa mostreremo che il problema non è banale considerando due esempi di famiglie $\mathscr{D}$ per cui la proprietà $P(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}\,,\,\mathscr{D})$ non vale. In seguito analizzeremo il primo risultato in positivo prendendo come famiglia i grafici di funzioni $"\mathcal{C}^1"(\mathbb{R}^n\,,\,\mathbb{R})$, cioè la famiglia delle funzioni in $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^n\,,\,\mathbb{R})$ che ammettono derivate direzionali continue consentendo valori infiniti. Nella parte finale enunceremo una caratterizzazione per la più semplice famiglia di funzioni da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ continue quando ristrette lungo un qualsiasi iperpiano di $\mathbb{R}^n$ ma discontinue nell'origine.