La meccanica quantistica nello spazio delle fasi

L'equazione di Schrödinger (postulata nel 1925) e il formalismo degli spazi di Hilbert di Dirac costituiscono convenzionalmente la prima formulazione della meccanica quantistica. L'idea di questo formalismo è definire un'onda di probabilità, il cui modulo quadro corrisponde alla probabilità di posizione, o di impulso, la quale deve obbedire all'equazione differenziale di Schrödinger. Dirac introdusse l'omonima notazione, in cui si usano vettori nello spazio di Hilbert e le grandezze misurabili corrispondono ad un operatore hermitiano. Con questo formalismo, un problema fisico può essere trattato nello spazio delle configurazioni, concentrandosi in modo equivalente, o sullo spazio delle coordinate, con le rispettive funzioni d’onda. L'elemento di rottura più vistoso con la meccanica classica è la corrispondenza tra grandezze misurabili e operatori hermitiani in uno spazio di Hilbert e la necessità di determinare di una funzione d'onda di probabilità, la cui norma quadra corrisponde alla probabilità. L'interpretazione probabilistica è, senza ombra di dubbio, il principio fondante della meccanica quantistica, ma il formalismo introdotto da Schrödinger-Dirac risulta essere estremamente contro-intuitivo, specialmente nella definizione di onda di probabilità, da cui ricavare la probabilità. Parallelamente al lavoro di Schrödinger e Dirac, i fisici Hermann Weyl ed Eugene Wigner pongono le basi di una formulazione alternativa nello spazio delle fasi, teoria sviluppata successivamente da Hilbrand Groenewold (circa 1946) e da Joe Moyal. Il lavoro di Weyl risulta essere essenziale nell’associazione di una funzione nello spazio delle fasi, la quale è l’osservabile fisica che si vuole misurare ad un operatore hermitiano in uno spazio di Hilbert, attraverso l’omonima mappa. Infatti, il suo lavoro contribuì anche alla definizione degli operatori comunemente usati nella formulazione degli spazi di Hilbert. La mappa di Weyl è invertibile, e la sua inversa, nota spesso come “mappa di Wigner”, verrà usata per mettere in corrispondenza biunivoca la matrice densità di un sistema con una funzione nello spazio delle fasi, chiamata "funzione di Wigner", la quale contiene necessariamente tutte le informazioni del sistema, come la matrice densità stessa. Inoltre, la mappa di Weyl permette di definire un nuovo prodotto di funzioni nello spazio delle fasi, noto in letteratura come “prodotto stella”, o “star product”, il quale contiene nella definizione la grandezza h e non è commutativo. Questo particolare prodotto sostituirà il prodotto di funzioni e indurrà la quantizzazione dello spazio delle fasi. Si dimostrerà che la funzione di Wigner del sistema può essere intesa come una distribuzione di probabilità associabile al sistema fisico, con cui si possono determinare valori medi di osservabili, se la matrice densità risulta correttamente normalizzata, anche se possiede delle peculiarità rispetto ad una distribuzione statistica classica. Questa tesi ripercorrerà la definizione e l'uso delle mappe di Weyl: la correlazione tra un operatore e la propria funzione nello spazio delle fasi; la definizione della funzione di Wigner dalla matrice densità e le sue proprietà fondamentali. Infine, saranno presentati a livello pratico alcuni modelli fondamentali. Tuttavia, non si parlerà dello spin, in quanto le formulazioni proposte sono successive all'opera di Weyl, Wigner, Groenwold e Moyal e richiedono un formalismo diverso per essere introdotte.