Isometrie dello spazio Anti de Sitter e buco nero BTZ da uno spazio quoziente ​

L’interazione gravitazionale fu la prima delle quattro forze fondamentali ad essere studiata con successo già nel 1687 da Isaac Newton che ne fornì una prima descrizione matematicamente consistente ma non relativistica e incapace di spiegare alcune osservazioni sperimentali quali ad esempio la precessione del perielio di Mercurio. La necessità di una teoria migliore e più generica venne colmata più di duecento anni dopo con la relatività generale ideata da Albert Einstein. Tale teoria rimane la più incompresa ma insieme alle teorie quantistiche dei campi rappresenta una delle due facce della medaglia da incollare assieme per una descrizione univoca delle leggi fisiche ultime che governano l’universo. In questa tesi l’equazione ideata dal fisico nel 1916 è il punto di partenza dell’elaborato a cui segue nel primo capitolo una introduzione agli spazi massimamente simmetrici con particolare enfasi allo spazio anti de Sitter, una soluzione tutt’oggi ampiamente studiata per le sue applicazioni e corrispondenze in diversi ambiti della fisica teorica quali ad esempio la corrispondenza Ads/CFT. Riguardo a questo spazio vengono presentate la sua equazione di embedding valente come definizione dello spazio stesso, due set di coordinate ovvero quelle di Poincaré e quelle globali, una verifica del fatto che Adsn risulta essere massimamente simmetrico e in conclusione del capitolo viene presentata una breve discussione sul tipo di costante cosmologica indotta nell’equazione di Einstein considerando questo spazio come soluzione. Nel secondo capitolo si introduce il gruppo di simmetria della teoria dei campi conforme con lo scopo di verificare analiticamente con due metodi differenti che le isometrie dello spazio anti de Sitter risultano essere le medesime di questa teoria. Il primo metodo utilizzato si basa sulla risoluzione dell’equazione di Killing o più precisamente della nullità della derivata di Lie del generico campo vettoriale lungo la metrica. Tale metodo conduce alla risoluzione di un sistema di equazioni differenziali a variabili separabili che con alcune considerazioni si riescono a risolvere analiticamente. Il secondo approccio si basa invece sulle simmetrie indotte dal generatore delle rotazioni nello spazio di embedding notando una evidente simmetria rotazionale dell’iperboiloide ad una falda che definisce lo spazio spesso. Con questo secondo metodo ci si riconduce alla risoluzione di sistemi lineari di equazioni le cui soluzioni o combinazioni lineari di esse risultano essere i vettori di Killing cercati. Nel terzo e ultimo capitolo, dopo aver introdotto i buchi neri all’interno di questa teoria, viene presentata una soluzione ideata da Maximo Bañados, Claudio Teitelboim e Jorge Zanelli in modo alternativo rispetto al formalismo lagrangiano con una identificazione del gruppo di simmetria dello spazio anti de Sitter. A questa trattazione vengono aggiunti i supporti grafici di tale soluzione che risulta descrivere un buco nero rotante studiato in due dimensioni spaziali ed una temporale. In questo modo nulla si toglie alle caratteristiche fisiche rilevanti del buco nero ma si semplifica il grado di complessità dovuto alle corrispondenti soluzioni quadridimensionali. Il buco nero BTZ rappresenta una modellizzazione alternativa in spazio anti de Sitter rispetto alla usuale soluzione di Kerr.