Aspetti geometrici di AdS e del buco nero BTZ

Il lavoro svolto per questa tesi verte sullo studio dello spazio di anti - de Sitter n-dimensionale e del buco nero tridimensionale BTZ. Per prima cosa è stato definito lo spazio di AdS, presentando i due set di coordinate che sono stati utilizzati nel corso del lavoro. Successivamente è stato dimostrato che AdS sia soluzione dell’equazione di campo di Einstein nel vuoto e sono state mostrate le sue caratteristiche di spazio massimamente simmetrico, introducendo i vettori di Killing. Questi sono stati calcolati esplicitamente utilizzando i due set di coordinate prima menzionati e sfruttando due approcci differenti. Il primo di questi approcci vede come protagonista l’equazione di Killling, si tratta quindi di risolvere equazioni differenziali. Gli stessi risultati sono stati poi ricavati con un metodo algebrico, grazie all’embedding in AdS del generatore delle trasformazioni di Lorentz. Dopo la trattazione di questi vettori, l’attenzione si sposta sul buco nero BTZ. Esso è definito in AdS tridimensionale ed è rotante, cosa che permette l’esistenza di due orizzonti e dell’ergosfera. Dopo aver verificato che il buco nero soddisfi l’equazione di campo nel vuoto, sono state studiate le sue geodetiche. Grazie alla definizione delle costanti del moto, energia e momento angolare, è stato possibile ricavare una soluzione analitica per il buco nero non rotante. In conclusione sono riportati dei grafici raffiguranti dei plot di geodetiche di tipo tempo e di tipo luce.