Entropia di entanglement

Il concetto di entropia è da sempre considerato particolarmente suggestivo, uno strumento interpretativo che può modificare la nostra immagine del mondo. Non ha una definizione univoca, perché può essere presentata sotto vari aspetti in ambiti molto diversi; inoltre non è una grandezza direttamente misurabile. Il termine “entropia” fu introdotto per la prima volta da Clausius quando riformulò il secondo principio della termodinamica affermando che quando un sistema passa da uno stato di equilibrio ordinato ad uno disordinato la sua entropia aumenta definendo una freccia del tempo. In statistica classica il concetto di entropia è associato all'incertezza dell'osservatore riguardo lo stato esatto del sistema fisico in esame. Tra le proprietà più importanti dell'entropia classica vi è l'estensività: l'incertezza totale sul sistema deriva dalla somma delle incertezze su tutti i suoi costituenti. In particolare, se l'entropia del sistema è nulla allora sono noti con esattezza i microstati di tutti i suoi costituenti. Anche in meccanica quantistica è possibile dare una definizione di entropia e associarvi una misura, che è detta entropia di von Neumann. Si scopre però che questa può non rispettare l'estensività. Questa rottura col comportamento classico è da imputare al fenomeno dell'entanglement, il fenomeno che più di tutti caratterizza il mondo quantistico. L'entanglement quantistico rappresenta uno dei fenomeni più misteriosi, e tuttora quasi inspiegabili per la concezione umana, di tutta la fisica. Infatti, Schrodinger lo definiva il “tratto caratterizzante” della teoria quantistica mentre Einstein non riuscì mai ad accettarlo fino in fondo tanto da ritenerlo la prova stessa che la meccanica quantistica fosse una teoria sostanzialmente inesatta. In estrema sintesi l'entanglement è quella proprietà degli stati quantistici di particelle che, inizialmente interagenti, possano risultare legati tra loro. Anche quando le particelle vengono poste agli estremi opposti dell'universo, la modifica che dovesse occorrere allo stato quantistico di una delle particelle istantaneamente avrebbe un effetto misurabile sullo stato quantistico delle altre, determinando in tal modo il fenomeno della cosiddetta “azione fantasma a distanza”. Lo scopo di questo lavoro consiste nel trovare una misura di quantificazione dell'entanglement e nella sua corretta formulazione, per poi fornire esempi significativi. Si è inizialmente introdotto e analizzato il formalismo delle matrici densità, usato poi nell'ambito della meccanica quantistica per trattare sistemi statistici, allo scopo di illustrare il concetto di entropia quantistica di von Neumann. Si è successivamente definito il concetto di entanglement, mostrando come in sua presenza l'entropia di von Neumann si comporti diversamente dall'entropia classica non rispettando l'estensività. A causa di questo fenomeno regioni parziali di sistemi ad entropia totale nulla possono presentare un'entropia non nulla ed è perciò naturale associarne la misura ad una quantificazione del livello di entanglement col resto del sistema. Sfruttando questa particolarità si è potuto introdurre l'entropia di entanglement, della quale si è discusso l'andamento e le principali proprietà. Si è infine studiata l'entropia di entanglement per una catena di spin finita (modello di Ising 1-D) in funzione del valore d'interazione fra spin primi vicini e in base alla lunghezza della catena o della geometria con la quale si bipartisce il sistema.