DECOMPOSIZIONE PRIMARIA DI IDEALI

Questa tesi ha lo scopo di mostrare uno strumento molto interessante nell’analisi degli ideali in anelli commutativi con unità, ovvero la decomposizione primaria. Questa decomposizione permette ad ogni ideale di essere presentato come intersezione di ideali primari, che come si vedrà nel corso della tesi, non sono altro che ideali primi generalizzati. La tesi è composta di quattro capitoli, è di tipo compilativo e con un impostazione prettamente teorica, ma l’argomento trattato porta in modo ovvio a questioni algoritmiche. Il primo capitolo fornisce gli strumenti basilari per poter apprezzare (e comprendere) a pieno questa teoria. La prima parte del capitolo si permette di inserire definizioni e proposizioni elementari derivate da Algebra 1 ed Algebra 2, mentre la seconda parte, oltre che a mettere in relazione ideali primi, massimali, irriducibili e radicali, fornisce nuovi strumenti come il colon, fondamentale per introdurre gli ideali di divisione e gli anelli Noetheriani. Il secondo capitolo ha come focus quello di dare le definizioni e proprietà essenziali degli ideali primari, oltre che successivamente a legare questi ultimi a quelli definiti nel capitolo precedente. Viene data inoltre importanza anche agli ideali primi che si ottengono tramite radicalizzazione di primari ed al legame tra ideali di divisione e ideali primari. Infine si viene a definire cosa sia una decomposizione primaria e come minimizzarla. Nel terzo capitolo si entra nel fulcro di questa teoria con i due teoremi di unicità della decomposizione primaria, cercando di sottolineare di che tipo di unicità si parla. Infatti, nel primo teorema l’unicità riguarda il numero fisso di ideali primari in più decomposizioni e dell’unità dei primi associati ad esse, mentre nel secondo l’unicità tocca anche gli ideali primari che hanno come radicale un ideale primo minimale tra gli associati. L’ultimo capitolo, invece, inizialmente affronta le conseguenze di tutte queste proposizioni nel caso di un anello Noetheriano, in cui l’unicità diventa più potente poiché gli ideali irriducibili sono anche primari. In una seconda parte viene mostrata un’applicazione di questa teoria sugli ideali monomiali, ideali con proprietà molto particolari che rendono la decomposizione primaria molto più semplice da calcolare. Questo capitolo è importante per avere un’idea intuitiva di ciò che rappresenta la decomposizione primaria per gli ideali e per riuscire a vedere gli ideali primari come elementi fondanti per tutti gli altri ideali.