Costruzione dell'analogo p-adico del campo dei numeri complessi

Il campo dei numeri razionali ammette un naturale completamento nell'insieme dei numeri reali, che a sua volta può essere esteso nel campo dei numeri complessi, nel caso in cui se ne consideri la chiusura algebrica. Il procedimento descritto non è però l'unico possibile: si può infatti considerare per ogni numero primo p un nuovo valore assoluto sui razionali, detto valore assoluto p-adico, che non è equivalente al valore assoluto tradizionale; il completamento rispetto alla metrica indotta da tale funzione è chiamato campo dei numeri p-adici. Si tratta di un insieme numerico molto differente da quello dei numeri reali, ma accomunato dalla proprietà di completezza, per cui è possibile trasportare in esso tutti gli strumenti dell'analisi classica, come l'integrazione e la differenziazione. Più dettagliatamente, si può costruire una struttura analoga al campo dei numeri complessi ricercando la chiusura algebrica del campo appena visto, in modo da rendere l'analisi p-adica ancora più efficiente.