Tautocronia e brachistocronia della cicloide​

La trattazione illustra e dimostra le proprietà di tautocronia e brachistocronia della curva cicloide, il luogo delle posizioni di un punto su una circonferenza che rotola senza strisciare su una retta. Considerando il moto di un punto soggetto alla forza peso che si muove senza attrito su un arco di cicloide rivolto verso l'alto, lo studio della relativa equazione di Weierstrass permette di dimostrare che tale moto è periodico e che il periodo di ogni oscillazione, indipendentemente dal fatto che l'ampiezza sia grande o piccola, è costante e non dipende dalla posizione iniziale del punto; questa proprietà si chiama tautocronia. Inoltre, poiché l'evoluta di una cicloide è anch'essa una cicloide, il medesimo moto si ottiene considerando un punto appeso a un filo che appoggia su un profilo a forma di cicloide, pertanto è possibile costruire fisicamente il pendolo tautocrono. Esprimendo il valore del tempo di percorrenza del moto come funzionale, l'espressione della cicloide passante per due punti rende stazionario tale funzionale, perciò la cicloide rappresenta la curva brachistocrona, cioè la curva lungo la quale il tempo di percorrenza è minimo.​