Trasformate di Fourier continue e discrete e applicazioni

Joseph Fourier sviluppò un metodo moderno basato sull'utilizzo di serie trigonometriche e integrali, dando origine a una branca dell'analisi matematica nota come analisi di Fourier o analisi armonica. Diventò possibile esprimere funzioni complicate come serie di Fourier, concetto che venne esteso a funzioni su R, periodiche su R, su Z e periodiche su Z con la nozione di trasformata di Fourier. Oggi, l'analisi di Fourier è una branca matematica molto evoluta che trova un'ampia gamma di applicazioni in diversi campi. Il presente elaborato è volto ad approfondire le applicazioni dell'analisi di Fourier nel campo della musica da un punto di vista matematico, dopo una trattazione teorica dei principali concetti e risultati alla base di questo ramo dell'analisi. In particolare, l'elaborato si articola in cinque capitoli, di cui i primi quattro di carattere più matematico-teorico in cui vengono esposti teoremi, definizioni e proprietà che riguardano le trasformate di Fourier di funzioni con differenti domini, e l'ultimo, più vicino ad applicazioni nel campo della musica, in cui vengono spiegati i processi di generazione di uno spettrogramma e di sintesi additiva che comportano l'utilizzo degli strumenti teorici esposti nei primi quattro capitoli. Nel primo e nel quarto capitolo vengono trattate le trasformate di Fourier e le relative inverse di funzioni su domini diversi. In particolare, nel primo capitolo vengono considerate funzioni su R e funzioni periodiche di periodo p su R, di cui viene fatta una trattazione nel caso di funzioni integrabili secondo Lebesgue in L1(R) e in L2((0, p)). Nel quarto capitolo invece vengono considerate funzioni su Z e funzioni periodiche di periodo N su Z, e viene presentato il cubo di Fourier-Poisson, diagramma commutativo con il quale viene stabilito un legame tra le funzioni e tra le trasformate viste in questi due capitoli attraverso le relazioni di Poisson. Nel secondo capitolo viene enunciato e dimostrato il Teorema di Dirichlet nel caso di una funzione f in L1(R) e di una funzione periodica f in L1((0, p)). Il teorema di Dirichlet svolge un ruolo fondamentale nell'analisi di Fourier in quanto sotto opportune ipotesi permette di analizzare l'operazione di inversione della trasformata di Fourier rispetto alle proprietà di continuità della funzione f. Nel terzo capitolo vengono illustrati due metodi di approssimazione dei coefficienti che portano allo stesso risultato di approssimazione. Viene definita la Trasformata di Fourier Discreta (DFT) di ordine N che manda i valori di f discretizzata nei coefficienti di Fourier approssimati. Il capitolo si conclude con una sintetica spiegazione dell'algoritmo della Fast Fourier Transform (FFT). Nel quinto ed ultimo capitolo vengono applicati i concetti esposti nei capitoli precedenti nel campo della musica e dell'armonia. In particolare, partendo dal segnale prodotto da suoni simultanei e da quello prodotto da suoni successivi, i cui relativi grafici di frequenza sono differenti, viene mostrato come questa differenza non sia individuabile facilmente sui grafici del modulo della trasformata di Fourier dei due segnali, ma sia evidente invece sui corrispondenti spettrogrammi. Dopo la spiegazione di come viene realizzato unospettrogramma, si analizza il processo inverso, ovvero la sintesi additiva che permette di generare un suono (o una melodia che varia nel tempo) a partire da uno spettrogramma.