Il fenomeno di Gibbs e la convergenza in media per le serie di Fourier.

In this thesis we discuss some fundamental aspects of the theory of Fourier series. After a review of the classical results about pointwise and uniform convergence we analyze in detail the so called Gibbs phenomenon, which is the presence of strong oscillations of a function Fourier polynomials in the neighborhood of a jump discontinuity. Afterwards we present a result about convergence in mean found by Fejèr which allows for the elimination of Gibbs phenomenon.

In questa tesi si discutono alcuni aspetti della teoria delle serie di Fourier. Dopo aver illustrato i risultati classici sulla convergenza puntuale ed uniforme di tali serie, viene analizzato in dettaglio il cosiddetto fenomeno di Gibbs, ovvero la presenza di forti oscillazioni dei polinomi di Fourier di una funzione nell'intorno di un suo punto di discontinuità di prima specie. Successivamente viene presentato un risultato di convergenza in media dovuto a Fejér che permette di eliminare il fenomeno di Gibbs.