Teoria delle code: analisi comparativa di alcuni modelli di coda Markoviani e non Markoviani

La teoria delle code è una branca della matematica che si occupa dello studio e dell'analisi delle file d'attesa. Fornisce un quadro matematico per comprendere e prevedere il comportamento dei sistemi che coinvolgono l'arrivo, il servizio e la partenza di entità, come clienti, lavori o richieste. La teoria delle code ha numerose applicazioni in vari campi, tra cui telecomunicazioni, informatica, trasporti, assistenza sanitaria, produzione e servizio clienti. In questo elaborato affronteremo lo studio di alcuni modelli di coda, classificati in base a tre caratteristiche: il processo di arrivo dei clienti, la distribuzione dei tempi di servizio e il numero di sportelli. In tutti i sistemi che studieremo i clienti vengono serviti in ordine di arrivo e, se trovano tutti gli sportelli occupati, si dispongono in coda nello stesso ordine. Nel capitolo 1 introduciamo alcuni concetti necessari per studiare i modelli di coda. Diamo la definizione di Catena di Markov e processo di Poisson. Inoltre consideriamo quattro quantità relative ai sistemi di coda, che utilizzeremo nei capitoli successivi per la descrizione dei diversi modelli, insieme alle probabilità limite, anch'esse definite in questo capitolo. Nel capitolo 2 analizziamo il primo modello di coda a un singolo sportello, caratterizzato da arrivi secondo un processo di Poisson (e quindi intertempi tra gli arrivi con distribuzione esponenziale) e tempi di servizio esponenziali, chiamato modello M/M/1. Queste due caratteristiche permettono di parlare di modello Markoviano, in quanto sia la distribuzione dei tempi tra arrivi successivi sia quella dei tempi di servizio godono della proprietà di assenza di memoria. In generale, questo modello considera sistemi con capienza infinita, ma vedremo anche il caso particolare di una coda con capacità finita, cioè con un numero massimo di clienti che possono stare nel sistema. Nei capitoli 3 e 4 passiamo all'analisi di due modelli Non-Markoviani, il modello M/G/1 e G/M/1. Il primo è caratterizzato da arrivi secondo un processo di Poisson e tempi di servizio con distribuzione arbitraria, mentre nel secondo i tempi tra arrivi successivi hanno distribuzione generica e i tempi di servizio sono esponenziali. Nel capitolo 5 consideriamo il modello Markoviano a più sportelli M/M/k. Descriviamo tre tipi di sistema di coda multi server: il caso con un numero infinito di sportelli, il sistema di perdita con k sportelli, in cui non c'è possibilità di accodamento, e il caso in cui la capacità della coda è infinita. Infine, nel capitolo 6 analizziamo un sistema coda di tipo M/G/1 che opera in un ambiente multi fase che, occasionalmente, subisce un guasto e, a causa di questo, tutti i clienti sono costretti ad abbandonare il sistema, che, dalla fase i in cui si trovava, si ritrova nella fase di riparazione. Presentiamo inoltre un risultato numerico relativo al particolare caso Markoviano.