Relazioni tra Teorie di Toda e Superfici Minimali Riemanniane

The thesis ”Relations between Toda Theories and Riemannian minimal Sur- faces” focuses on investigating a relationship between minimal surfaces in Anti de-Sitter space and the equations of motion derived from integrable theories known as Toda theories. The latter represent a broad class of integrable theo- ries associated with Lie algebras, both semisimple and affine. The starting point of the work is a 2020 paper in which the authors study the geometric context of a two-dimensional surface Σ immersed in a three- dimensional Anti de-Sitter space, which is itself immersed in R{2,2}. In particular, by analyzing the movement of frames anchored to the surface, using covariant derivatives and properties of the Levi-Civita connection, it is possible to demonstrate that requiring the curvature of the connection perform- ing the parallel transport of the frames to vanish is equivalent to imposing that the modified sinh-Gordon equation holds for the field φ that parametrizes the metric on the surface in isothermal coordinates. Subsequently, we investigated a possible extension of these considerations to the case of two-dimensional surfaces immersed in AdS spaces of arbitrary dimension. The formalisms observed to be the most appropriate for this exten- sion are, on the side of the analysis of frame motion, those of principal bundles and principal connections, while Riemannian geometry is fundamental for the characterization of the minimality of the immersed surface. In particular, the formalism of connections on the frame bundle L(M ) of a Riemannian manifold (M, g) allows formalizing in a very accurate way how the connection coefficients are influenced by considering ON frames with respect to the AdSn metric; moreover, the curvature of this connection produces a Riemann tensor with a particularly interesting index structure, somewhat rem- iniscent of the field strength in gauge theories. The advantage of this approach is that the geometry of the problem is precisely controlled, and at each step, it is clear which geometric constraints are being imposed. After defining the covariant derivatives in the sense of bundles, these will be related to the Riemannian formalism, and this will allow characterizing the mean curvature of the immersed surface as a function of the connection coefficients restricted to SO(η) ⊂ GL(m), which corresponds to considering the subbundle SO(M, g) ⊂ L(M ). Finally, a formal identification is provided between the geometric connections and the connections of integrable theories, allowing the Toda theory equations of motion to be written as zero curvature conditions, i.e., in the form ∂uAv − ∂v Au + [Au, Av ] = 0. The remaining part of the work, up to the conclusion, is dedicated to under- standing the geometric consequences of choosing such a form of the connection on the frame bundle: in particular, the request for minimality at fixed con- nection imposes constraints on the components of the frames tangent to the surface. In the particular case of AdS3 and AdS6, a negative result was found, wherebyit is not possible to impose all the aforementioned geometric constraints while respecting the metric structure.

La tesi “Relazioni tra teorie di Toda e superfici minimali Riemanniane” si focalizza sulla ricerca di una di una relazione tra le superfici minimali in spazio di Anti de-Sitter e le equazioni del moto provienienti dalle teorie integrabili note come teorie di Toda. Queste ultime rappresentano una vasta classe di teorie in- tegrabili associate ad algebre di Lie, sia semisemplici sia affini. Il punto di partenza del lavoro `e un articolo del 2020 in cui gli autori studiano il contesto geometrico di una superficie bidimensionale Σ immersa in uno spazio di Anti de-Sitter 3-dimensionale, a sua volta immerso in R^{2,2}. In particolare, analizzando il movimento dei frames ancorati alla superficie, facendo uso delle derivate covarianti e delle propriet`a della connessione di Levi- Civita, `e possibile dimostrare che richiedere l’annullarsi della curvatura della connessione che effettua il trasporto parallelo dei frames `e equivalente ad imporre che valga l’equazione di sinh-Gordon modificata per il campo φ che parametrizza la metrica sulla superficie in coordinate isoterme. Successivamente ci si `e interrogati su una possibile estensione di queste con- siderazioni al caso di superfici bidimensionali immerse in spazi di AdS di dimen- sione arbitraria. I formalismi che si `e osservato essere quelli più appropriati per questa estensione sono, dal lato dell’analisi del moto dei frames, quello dei fi- brati principali e delle connessioni principali, mentre la geometria Riemanniana è fondamentale per la caratterizzazione della minimalità della superficie imm- ersa. In particolare, il formalismo delle connessioni sul frame bundle L(M ) di una varietà Riemanniana (M, g) permette di formalizzare in maniera molto accurata il modo in cui i coefficienti di connessione vengono influenzati dal considerare frames ON rispetto alla metrica di AdSn; inoltre, la curvatura di questa con- nessione produce un tensore di Riemann con una struttura ad indici particolar- mente interessante, che ricorda in parte la field strenght delle teorie di gauge. Il vantaggio di questo approccio `e che la geometria del problema `e controllata in maniera precisa, e ad ogni step `e ben evidente quali restrizioni geometriche si stanno imponendo. Dopo aver definito le derivate covarianti nel senso dei fibrati, queste verranno messe in relazione con il formalismo Riemanniano, e questo permetter`a di carat- terizzare la curvatura media della superficie immersa in funzione dei coefficienti della connessione ristretta ad SO(η) ⊂ GL(m), che corrisponde a considerare il sottofibrato SO(M, g) ⊂ L(M ). Infine, si fornisce un’identificazione formale tra le connessioni geometriche e le connessioni delle teorie integrabili che permettono di scrivere le equazioni del moto delle teorie di Toda come condizioni di curvatura nulla, cioè nella forma ∂uAv − ∂v Au + [Au, Av ] = 0. La restante parte del lavoro, fino alla conclusione è dedicata a capire quali sono le conseguenze geometriche della scelta di tale forma della connesione sul frame bundle: in particolare, la richiesta di minimalit`a a fissata connessione pro- duce dei vincoli sulle componenti dei frames tangenti alla superficie. Nel caso particolare di AdS6 ed AdS3, `e stato trovato un risultato negativo, per cui non risulta possibile imporre tutti i vincoli geometrici sopra elencati rispettando la strut- tura metrica.