Trasporto ottimale e equazioni di Einstein generalizzate

In questa tesi viene analizzata la corrispondenza tra le equazioni che governano la relatività generale, meglio conosciute come equazioni di Einstein, e le proprietà di concavità dell’evoluzione temporale del funzionale entropia. Questo collegamento tra entità termodinamiche e relatività generale si aggiunge come prova ai molti casi già presenti in letteratura, come lo studio dell’entropia dei buchi neri. A differenza di questi ultimi però, per collegare entropia e relatività generale viene utilizzato un framework puramente classico, dove l’unico ente è la gravità. A tale scopo si adotta la teoria del trasporto ottimale (OT), sviluppata in tempi recenti da Villani, Otto e Kantorovich. Il trasporto ottimale consiste nel trovare la mappa che collega tutti i punti di una distribuzione iniziale con una distribuzione finale, utilizzando la minima distanza totale possibile. Imporre questo vincolo all’evoluzione delle distribuzioni di probabilità significa imporre equazioni differenziali sulla varietà di base. Successivamente, questo approccio viene ampliato al caso di connessione con torsione non nulla dove, modificando opportunamente le equazioni derivanti dal trasporto ottimale, si è in grado di ottenere le equazioni di Einstein in presenza di un tensore di torsione. Per validare quanto trovato si fa riferimento a casi di torsione noti in letteratura quali le equazioni derivanti dall’accoppiamento tra fermioni e gravità. Viene inoltre mostrato come sia possibile ottenere un’equazione per la torsione partendo solamente da funzionali caratteristici del trasporto ottimale. Infine, la teoria del trasporto ottimale viene modificata per poter essere applicata correttamente al caso della Double Field Theory (DFT). Nonostante questa teoria sia caratterizzata da una metrica piatta si hanno comunque dei termini di torsione non nulli derivanti dall’equazione di Bochner. Applicando dei vincoli di concavità sul funzionale entropia ne risulta un’equazione del moto non banale, che si scopre essere esattamente l’equazione di Einstein per il caso della Double Field Theory.