Risoluzione di Singolarità e Metriche Ricci-Piatte nella Corrispondenza Gauge/Gravity

This thesis is about theoretical physics and the starting point is the $AdS/Cft$ correspondence. The first part of the project is about the historical and scientifical context in which the correspondence was created and it's going to briefly discuss the most important points of Maldacena's 1997 paper: showing how the solution of the $AdS_5$ $\times$ $ S^5$ kind comes from the near-horizon limit of the solution with a $D3$-brane and highlighting the link with the field theory associated to the brane. The introduction continues by pointing out how this paper has been essential in the development of string theory, supergravity and how it was also able to aim the related branch of mathematical research. The main part of my work is almost entirely math-based and it's here that the fundamental tools for the rest of the discussion are introduced. In particular, the definition and the properties of complex manifolds, K{\"a}hler manifolds, Calabi-Yau, metric cones and Sasaki-Einstein manifolds, underlining the reasons why some of them are studied more in depth than others. The next step concerns the physical importance of singularities in the space transverse to a system of branes and the consequences of the singularities resolution on the dual gauge theory. Two of this kind of singularities that received particular attention over the recent years are the conical and the orbifold ones. The cone over a Sasaki-Einstein is a non-compact Calabi-Yau and the relevance in string theory of these spaces is well known, like the orbifold one. At this point, the discussion follows two different directions: the first one investigates Kronheimer constructions for the crepant resolution of singularities of $\mathbb{C}^2/ \Gamma$ orbifolds (where $\Gamma$ is a finite subgroup of SU(2)) and the following developments that brought to MacKay quivers and to the general procedure in the $\mathbb{C}^3/ \Gamma$; the second one focuses on the Sasaki-Einstein family known as $Y^{p,q}$ and on the resolution of singularities on the correspondent cones. Until this point I've essentially illustrated the results obtained both in mathematical and physical research in the last decades. In the last part of the project I've tried to obtain the well known results about the resolution of the singularity of the cone over $Y^{2,1}$ using a different technique, in particular the generalized Kronheimer construction with some light adjustments. The main difference relies on the fact that in this case there aren no finite groups, so the associated quiver is not of the MacKay type but it's the one associated to the first Hirzebruch surface that corresponds to the first Del Pezzo surface.

Il punto di partenza del mio lavoro di tesi è la corrispondenza $AdS/Cft$. Nella prima parte dell'elaborato presento il contesto fisico nel quale la corrispondenza è nata e rapidamente descrivo i punti salienti dell'articolo del 1997 di Maldacena: mi limito a mostrare come la soluzione del tipo $AdS_5$ $\times$ $ S^5$ provenga dal limite di near horizon della soluzione con una $D3$-brana e a evidenziare il legame con la teoria di campo che vive sulla stessa. L'introduzione prosegue sottolineando quanto quest'articolo sia stato fondamentale per lo svilluppo della teoria delle stringhe, della supergravità e abbia avuto anche il merito di indirizzare la ricerca di alcuni settori della matematica. Il corpo principale dell'elaborato è di natura fondamentalmente matematica ed è qui che presento gli strumenti necessari a proseguire il lavoro; mi occupo della definizione e delle principali proprietà delle varietà complesse, varietà di K{\"a}hler, Calabi-Yau, coni metrici e varietà di Sasaki-Einstein. Durante la trattazione cerco, per quanto possibile, di sottolineare le ragioni per cui determinate costruzioni siano più studiate di altre in letteratura. Succesivamente mi soffermo sull'importanza fisica delle singolarità dello spazio trasverso alla brana (o sistema di brane) e sulle conseguenze della risoluzione delle singolarità sulla teoria di Gauge duale. Quelli che presento sono i due tipi di singolarità più studiati negli ultimi anni ovvero le singolarità coniche e le singolarità di tipo orbifold (una varietà quozientata per un gruppo finito). Qui il lavoro si divide in due: in una prima parte illustro la costruzione di Kronheimer per la risoluzione di singolarità del tipo $\mathbb{C}^2/ \Gamma$ e i successivi svilupppi nella ricerca che hanno portato ai quiver di McKay e alla risoluzione generale per il caso $\mathbb{C}^3/ \Gamma$, mentre nella seconda presento i Sasaki-Einstein noti come $Y^{p,q}$ e la risoluzione della singolarità dei coni corrispondenti. Se fino a questo punto la tesi è sostanzialmente la presentazione dei progressi svolti dalla ricerca fisica e matematica negli ultimi decenni su questo tema, nella parte conclusiva tento, in prima persona, di riprodurre i risultati per la risoluzione della singolarità sul cono su $Y^{2,1}$ attraverso la costruzione di Kronheimer generalizzata adeguendola al fatto, che nel caso in esame, non ci sia alcun gruppo finito.