Applicazioni avanzate degli elementi finiti di tipo misto: teoria, analisi e implementazioni numeriche

L'evoluzione dei metodi numerici per la soluzione di problemi differenziali ha segnato un punto di svolta nel campo dell'ingegneria e delle scienze applicate, offrendo strumenti sempre più precisi ed efficienti per affrontare sfide di notevole complessità. Tra questi, il metodo degli elementi finiti (FEM) ha acquisito una posizione di rilievo, grazie alla sua versatilità e capacità di approssimare soluzioni di vari problemi. Il FEM presenta tuttavia limitazioni specialmente in presenza di vincoli di incompressibilità o di soluzioni con gradienti elevati. In questo contesto si inserisce il metodo degli elementi finiti di tipo misto (MFEM), un metodo agli elementi finiti che si distingue per l'utilizzo di più spazi funzionali nell'approssimazione delle diverse variabili di un problema. Lo studio e la sperimentazione delle tecniche MFEM costituiscono l'oggetto di questa tesi; attraverso un'indagine approfondita, si mira a esplorarne le potenzialità, dimostrando come l'adozione di più spazi funzionali nell'approssimazione delle variabili possa superare alcune delle limitazioni intrinseche del FEM. Questo lavoro non solo fornisce un quadro teorico solido sul MFEM, ma si dedica anche all'analisi di applicazioni pratiche e implementazioni numeriche. Attraverso la risoluzione di problemi test, vengono messi a confronto FEM e MFEM, evidenziando vantaggi, sfide e comportamenti inaspettati di quest'ultimo metodo. I primi tre capitoli comprendono una trattazione del FEM, delineando le basi teoriche necessarie per apprezzare le innovazioni apportate dal metodo misto. Nei capitoli 4 e 5 viene fornita un'analisi critica dei limiti del FEM e viene introdotto il MFEM sia come soluzione a tali problemi, sia come mezzo per ridurre il costo computazionale. Nei capitoli 6 e 7 viene trattato in dettaglio il MFEM e, attraverso studi di casi significativi come i problemi di Poisson e di Stokes, vengono illustrate la flessibilità e l'efficacia del metodo, chiarendo come la scelta di particolati tipi di elementi finiti specifici sia cruciale per l'applicazione. Nel capitolo 8 vengono discussi l'uso del MFEM per risolvere problemi misti perturbati e una tecnica di penalità per la stabilizzazione del metodo. La trattazione è arricchita da una serie di sperimentazioni numeriche (Capitolo 9), che non si limitano a confermare i vantaggi teorici del MFEM, ma offrono anche spunti su questioni non pienamente previste dalla teoria, come discrepanze nell'ordine di convergenza e influenze del parametro di penalità sulla stabilità numerica. Attraverso la risoluzione di alcuni problemi test viene svolto un confronto quantitativo tra FEM e MFEM e tra varianti del MFEM. Nel capitolo 10, la presentazione dei codici Matlab utilizzati nelle sperimentazioni fornisce una risorsa per l'estensione delle analisi a nuovi ambiti di ricerca. Attraverso questo lavoro, la tesi si propone di delineare un percorso che, partendo dalla teoria fino ad arrivare alla pratica computazionale, offra una visione complessiva del MFEM, focalizzandosi su casi di studio significativi, offrendo teoremi e analisi di ampia applicabilità a diversi problemi.