Tecnica della localizzazione applicata alla corrispondenza AdS/CFT per teorie N=2

The study of the strong coupling regime in gauge field theories is one of the most prominent subject of research in modern theoretical physics. In the latest years many different approaches have been developed to investigate this matter. One of the most fascinating consists in considering gauge theories that contain extra symmetries like supersymmetry and conformal symmetry. The enhanced level of symmetry allows a deeper analysis of the strong coupling regime. In this thesis we consider the N = 4 and N=2  super Yang-Mills theories which  play an important role in the context of the AdS/CFT correspondence. Indeed, this remarkable duality provides a powerful tool to calculate observables in the strong coupling regime using a dual gravitational theory. In the framework of this thesis we considered the  `` weak limit" of this conjecture which relates the strongly coupled N=2,4 SYM on R^4 with the Type II B supergravity on AdS_5xS^5(/Z_m). A more recent tool used in the context of supersymmetric gauge theories is the supersymmetric localization. This technique exploits the supercharges of the theory to dimensionally reduce the path integral using a saddle point method. The localized path integral lives in zero dimensions, namely it is a matrix model and can be used to evaluate correlation functions, leading to exact results. In the past years outstanding outcomes have been obtained for various supersymmetric theories in diverse dimensions. In the first part of the thesis we will review the AdS/CFT correspondence and the localization technique, remarking some of the several aspects. In the second part we will focus more in the interplay between these two techniques. Indeed these can be used separately to evaluate BPS observables in strong coupling regime and lead to a convergence of results. As a demonstrative example we consider the 1/2 BPS circular Wilson loop in N=4 SYM. In the second part we propose and explore a different way of exploiting localization in the framework of the AdS/CFT correspondence for N=2,4 superconformal gauge theories on R^4. In particular we consider the possibility of applying  supersymmetric localization to both sides of the duality to obtain an AdS_1/CFT_0 correspondence. To do so we propose and discuss a step by step procedure following a top-down approach. As a first step, considering the gauge theory on the boundary of AdS_5, we identify a set of suitable supercharges which localize its path integral in the origin of R^4. Then, exploiting the AdS/CFT correspondence, we map these superconformal charges into AdS_5 bulk superPoincarè charges and we identify the related killing spinor. This spinor is required in order to apply the localization procedure on the bulk theory. Since we are interested in the study of the Kaluza-Klein sector, we finally discuss the form of a suitable supergravity action containing these fields. In order to apply localization technique, we require that this action exhibits an off-shell supersymmetry action.

Lo studio del regime di forte accoppiamento nelle teorie dei campi di gauge rappresenta uno dei temi più rilevanti della ricerca nella fisica teorica moderna. Negli ultimi anni sono stati sviluppati molti approcci differenti per esaminare questa questione. Uno degli approcci più affascinanti consiste nell'esaminare le teorie di gauge che includono simmetrie aggiuntive come la supersimmetria e la simmetria conforme. Questo livello aggiuntivo di simmetria permette un'analisi più dettagliata del regime di forte accoppiamento. In questa tesi ci concentreremo sulle teorie di super Yang-Mills con N = 4 e N = 2, che rivestono un ruolo fondamentale nel contesto della corrispondenza AdS/CFT. Infatti, questa notevole dualità fornisce uno strumento potente per calcolare osservabili nel regime di forte accoppiamento utilizzando una teoria gravitazionale duale. Nel contesto di questa tesi, consideriamo il "limite debole" di questa congettura, che collega le SYM N = 2,4 fortemente accoppiate su R^4 con la supergravità di Tipo II B su AdS_5xS^5(/Z_m). Una tecnica più recente utilizzata nello studio delle teorie di gauge supersimmetriche è la localizzazione supersimmetrica. Questa tecnica sfrutta le supercariche della teoria per ridurre dimensionalmente il path integral utilizzando un metodo del punto di sella. Il path integral localizzato vive in zero dimensioni, ossia è un matrix model e può essere utilizzato per valutare le funzioni di correlazione, ottenendo risultati esatti. Negli anni passati sono stati ottenuti risultati eccezionali per varie teorie supersimmetriche in diverse dimensioni. La prima parte della tesi esaminerà la corrispondenza AdS/CFT e la tecnica di localizzazione, mettendo in luce alcuni dei concetti fondamentali. Nella seconda parte, ci concentreremo maggiormente sull'interazione tra queste due tecniche. Infatti, esse possono essere utilizzate separatamente per valutare le osservabili BPS nel regime di forte accoppiamento, portando a una convergenza dei risultati. Come esempio dimostrativo, consideriamo il giro Wilson circolare 1/2 BPS in $\mathcal{N}=4$ SYM. Successivamente, nella seconda parte, proponiamo ed esploriamo un modo diverso di utilizzare la localizzazione nel contesto della corrispondenza AdS/CFT per le teorie di gauge superconformi N=2,4 su R^4. In particolare, consideriamo la possibilità di applicare la localizzazione supersimmetrica su entrambi i lati della dualità per ottenere una corrispondenza AdS_1/CFT_0. Per farlo, proponiamo e discutiamo un procedimento passo dopo passo seguendo un approccio top-down. Come primo passo, considerando la teoria di gauge sul bordo di AdS_5, identifichiamo un insieme di supercariche adeguate che localizzano l'integrale di percorso nell'origine di R^4. Poi, sfruttando la corrispondenza AdS/CFT, mappiamo queste cariche superconformi nelle cariche superPoincarè bulk di AdS_5 e identifichiamo lo spinore di Killing correlato. Questo spinore è necessario per applicare la procedura di localizzazione sulla teoria bulk. Dato che siamo interessati allo studio del settore di Kaluza-Klein, discutiamo infine la forma di un'azione di supergravità adeguata che contiene questi campi. Per applicare la tecnica di localizzazione, richiediamo che questa azione mostri un'azione di supersimmetria off-shell.