Instabilità di Turing, formazione di pattern e applicazioni

Negli ultimi anni l'utilizzo della stampante 3-D per la creazione di pezzi meccanici, ma anche dispositivi medici, è in crescente sviluppo. Per creare un oggetto, si disegna un'immagine tridimensionale che viene caricata su uno slicer, che la fraziona, e invia il file alla stampante, la quale produrrà l'oggetto depositando filamenti di plastica in direzioni predeterminate per massimizzare la robustezza dell'oggetto e per minimizzare il materiale usato. Non è ancora ben chiaro, però, come passare dalle sezioni create, in cui le direzioni preferenziali sono descritte da un campo vettoriale, ad un insieme di curve integrali equidistanti che dovrebbero essere il percorso seguito dal macchinario per la stampa tridimensionale. Questa tesi vuole indagare se i modelli matematici usati per descrive la formazione dei pattern spaziali nel manto delle zebre possono essere sfruttati per generare i pattern richiesti dal processo di stampante 3-D. La formazione dei pattern, quali ad esempio le strisce sul manto degli animali, la ripetizione di motivi geometrici nelle ali delle farfalle o ancora particolari sequenze nucleotidiche, può essere descritta con modelli differenziali che presentano instabilità di Turing. Nel modello sono coinvolte due sostanze chimiche: una con compito di attivatore, cioè la sostanza da inizio alla reazione iniziando a diffondere, e l'altra con compito di inibitore che regola la reazione inibendo l'attivatore. Le due sostanze reagiscono fra loro attraverso meccanismi di diffusione che possono avere differenti velocità, le quali regolano la reazione andando ad amplificare o meno una delle due sostanze. In questo elaborato presentiamo lo studio di sistemi di reazione-diffusione che producono instabilità di Turing sia dal punto di vista teorico che mediante simulazioni numeriche. Presentiamo i meccanismi di reazione diffusione dal punto di vista teorico: analizziamo le equazioni del sistema sia per il caso unidimensionale sia per il caso bidimensionale. Si descrive come, al variare dei parametri gamma (velocità di reazione) e d (diffusione), lo stato stazionario del sistema sia uniforme o presenti un andamento oscillatorio. Esponiamo quindi le condizioni che generano instabilità sia nel caso unidimensionale che in quello bidimensionale. Successivamente nel secondo capitolo procediamo illustrando i metodi numerici utilizzati, differenze finite per la discretizzazione spaziale e Crank-Nicolson per quella temporale. Spieghiamo inoltre nel dettaglio come abbiamo costruito gli algoritmi per l'assemblaggio delle matrici e per l'approssimazione del problema. Si descrive poi il modello di Turing che abbiamo usato nelle simulazioni ed in particolare il procedimento seguito per scegliere i parametri del modello in modo da ottenere stati stazionari a strisce di una lunghezza e di una direzione predeterminata. Riportiamo poi sia il test di validazione dei metodi numerici che le applicazioni alla generazione in un dominio rettangolare di pattern a strisce verticali, orizzontali e inclinate ad un angolo prefissato. Infine riportiamo alcune considerazioni in merito all'applicabilità di questa tecnica al problema della stampante 3-D da cui eravamo partiti in questa ricerca.