Varietà toriche e coni poliedrali

Le varietà toriche sono da tempo argomento di studio per le loro numerose applicazioni nel campo dell'algebra e della geometria. In questa tesi ci soffermeremo principalmente su alcuni di questi collegamenti considerando oggetti geometrici, come i coni poliedrali e i politopi, ed algebrici, come i semigruppi affini. Ci sono sostanzialmente due modi di introdurre le varietà toriche. Il primo, a cui si deve il nome, definisce come varietà torica una varietà algebrica su cui agisce un toro complesso . Il secondo modo, più strettamente algebrico, riguarda le equazioni che definiscono tali varietà: una varietà torica affine è definita da equazioni parametriche monomiali o, equivalentemente, da un ideale generato da binomi. Una varietà torica è allora univocamente determinata dalle liste degli esponenti dei monomi della parametrizzazione o, equivalentemente, dei monomi che costituiscono i binomi dell'ideale. E' quindi naturale studiare tali varietà considerando le liste di esponenti come punti di un reticolo e analizzare le proprietà delle prime mediante quelle del secondo. Lo studio geometrico delle varietà toriche richiede quindi conoscenze anche nell'ambito della teoria dei gruppi e della geometria convessa.