Diametri dei platicosmi: varietà piatte compatte tridimensionali

Con il termine platicosmo (``universo piatto'') indichiamo una varieta' tridimensionale compatta e localmente Euclidea. L'interesse nello studio di queste particolari variet¿ deriva dal fatto che esse sono le piu' semplici forme possibili per l'universo in cui viviamo. Nel corso della tesi vedremo su cosa si basa questa affermazione, cercando di spiegarne il senso dal punto di vista della fisica; ad esempio esporremo come alcune recenti teorie cosmologiche non solamente ammettano la possibilita' di un universo finito (dato che queste varieta' sono compatte), ma anzi considerino questo forse anche piu' probabile che la possibilita' che l'universo sia infinito. Per studiare queste varieta', studieremo la struttura di alcuni reticoli ad esse associati. Infatti come vedremo nel capitolo 2, queste varieta' piatte possono essere ottenute come quoziente dello spazio euclideo modulo un gruppo di Bieberbach, che e' una particolare classe di gruppi cristallografici. Studieremo quindi questi gruppi usando i tre teoremi di Bieberbach che ne descrivono la struttura e le principali caratteristiche. Successivamente vedremo come si possano identificare e classificare i reticoli tramite dei parametri detti vonorme e conorme, che useremo anche per indicare i diversi platicosmi (o i reticoli associati) con delle notazioni abbreviate che ne riassumono le caratteristiche. Per visualizzare i platicosmi useremo invece delle rappresentazioni piu' intuitive, che danno meglio l'idea della topologia. Utilizzeremo delle immagini che mostrano cosa vedrebbe un persona all'interno di un platicosmo sufficientemente piccolo, cioe' con dimensioni confrontabili a quelle della persona stessa. In questo caso si avrebbe la possibilit¿ di vedere diverse copie di se stessi disposte tutte intorno, e a seconda della posizione reciproca delle diverse copie di se' si puo' stabilire in quale dei 10 diversi platicosmi ci si trovi.