Applicazione degli operatori di interpolazione a base radiale per la risoluzione numerica dell'equazione del calore

Le equazioni differenziali alle derivate parziali, indicate brevemente con la sigla PDE, rivestono un ruolo molto importante nella formulazione matematica di diversi problemi fisici. In genere la soluzione è espressa come una serie o un integrale, per cui è necessario ricorrere a integrazioni numeriche e ad approssimazioni. Da questo nasce l'esigenza di poter disporre di metodi numerici che permettano di determinare una soluzione approssimata del problema in ogni punto del dominio. Le tecniche numeriche classiche necessitano, solitamente, di dati disposti su una griglia e quindi il loro utilizzo diventa critico quando i nodi sono sparsi. L'obiettivo di questo lavoro è di esplorare un metodo di interpolazione mediante operatori a base radiale cardinale su dati sparsi ed applicarli alla risoluzione dell'equazione del calore. E. Kansa pubblicò il primo articolo in cui si utilizzano le funzioni multiquadratiche, per risolvere numericamente le PDE. Kansa applica tale metodo a problemi di tipo ellittico, i risultati ottenuti sono molto buoni. Tali funzioni sono però legate a parametri, i cui valori devono essere forniti in input. Purtroppo non esiste una teoria che permetta di determinarne a priori il valore. Nel 2002 G. Allasia e A. De Rossi proposero uno schema di discretizzazione che richiama il metodo di Kansa ma utilizza una differente classe di funzioni: le funzioni radiali cardinali. Tale metodo viene applicato a problemi ellittici. In questo lavoro descriviamo l'interpolazione con gli operatori a base radiale e quella che utilizza le funzioni a base radiale cardinale, costruiamo l'operatore interpolante di Shepard e successivamente enunciamo e dimostriamo le principali proprietà di tale operatore. Applichiamo la formula di Shepard classica per la risoluzione dell'equazione del calore. Consideriamo dunque un insieme di nodi distinti ed i rispettivi valori funzionali, per ora incogniti. L'obbiettivo è determinare tali coefficienti che sostituiti nella funzione interpolante ci forniranno un'approssimazione della soluzione. Analizziamo una variante della formula di Shepard nella quale compare una funzione peso che ha un effetto più o meno localizzante. Infine applichiamo la formula di Shepard classica e localizzata ad alcuni esempi. Per migliorare i risultati ottenuti abbiamo applicato la formula di Shepard con peso localizzante variando il numero di punti, restringendo verticalmente il dominio, applicando cambiamenti di scala ed aumentando il numero di punti sulla frontiera del dominio dove conosciamo la soluzione esatta.