Visualizzazione grafica delle superfici di Delaunay

Questo elaborato ha l'obiettivo di fornire una visualizzazione, mediante un'opportuna procedura, le superfici di Delaunay, ovvero le superfici di rotazione a curvatura media costante. Il matematico francese Charles-Eugène Delaunay ha provato che le superfici di rotazione complete a curvatura media costante sono esattamente quelle ottenute facendo ruotare intorno ai loro assi le roulette delle coniche. Si arriva alla procedura seguendo due metodi differenti, ma del tutto equivalenti: - il primo affronta l'argomento da un punto di vista puramente geometrico come fece Delaunay; - il secondo ottiene le superfici a curvatura media costante risolvendo un problema di tipo variazionale. Dopo una breve introduzione sulle superfici di rotazione e sulle loro proprietà fondamentali, viene scritta l'espressione locale della loro curvatura media. In seguito sono sviluppati alcuni aspetti del calcolo delle variazioni. Si affronta quindi il seguente problema variazionale: trovare, tra tutte le superfici di rotazione aventi un dato volume, quella di area laterale minima e viene scritta l'equazione di Eulero-Lagrange per questo problema variazionale. In seguito, dalla definizione di roulette di una conica, si ottengono le curve risultanti che vengono dette: catenaria nel caso della parabola, ondularia nel caso dell'ellisse e nodaria nel caso dell'iperbole. Dalla successiva rotazione di queste curve attorno ai loro assi si trovano rispettivamente il catenoide, l'onduloide ed il nodoide, ovvero le superfici di Delaunay. L'ondularia e la nodaria risultano essere le soluzioni della stessa equazione differenziale, la cui derivata ha come primo termine l'espressione della curvatura media trovata in precedenza. Si può dunque esprimere l'equivalenza tra la richiesta di avere la curvatura media costante e l'equazione di Eulero-Lagrange del problema isoperimetrico per una superficie di area minima con volume fissato. Infine si dimostra l'equivalenza tra l'espressione della curvatura media trovata precedentemente e quella che viene effettivamente riportata all'interno della procedura. Successivamente vengono presentati alcuni esempi di visualizzazione grafica delle superfici di Delaunay.