Decomposizione di Cholesky e creazione di portafogli

L'obiettivo di questo progetto di tesi è quello di mostrare come l'utilizzo di concetti matematici, in particolare algebrici, possa essere applicato all'economia e alla finanza allo scopo di facilitare la ricerca di determinati parametri. Il fine è di mostrare come la decomposizione di Cholesky risulti uno strumento vantaggioso per il calcolo del rischio di mercato all'interno dei portafogli e quindi per la creazione di portafogli stessi. Questa tesi è suddivisa in tre capitoli.I primi due capitoli di questo elaborato trattano la questione da un punto di vista matematico, dando informazioni utili per comprendere ad un livello più teorico, la fattorizzazione di Cholesky, il terzo capitolo invece affronta la questione dal punto di vista finanziario, utilizzando gli strumenti trattati nei precedenti capitoli per il calcolo del rischio e la creazione di portafogli. In particolare nella prima parte, vengono presentate le nozioni preliminari utili per riuscire poi a comprendere la decomposizione di Cholesky. Dato che questa è un caso particolare della più generale decomposizione LU, nel primo capitolo viene trattata la fattorizzazione LU partendo dall'algoritmo di Gauss fino ad arrivare all'introduzione della matrice di permutazione per la fattorizzazione PA=LU. Nella seconda parte viene trattata nel dettaglio la fattorizzazione di Cholesky, viene enunciato e dimostrato il teorema e si vede nel dettaglio la sua applicazione. Tramite un'analisi dei costi computazionali si mettono a confronto le fattorizzazioni LU e Cholesky, per sottolineare il vantaggio dell'utilizzo della decomposizione di Cholesky a livello di calcolo. Nell'ultima parte si introduce il concetto di creazione di portafogli e calcolo del VaR. Si vede come l'utilizzo di modelli matematici, in particolare algebrici, quali la matrice di covarianza e la fattorizzazione di Cholesky applicata ad essa permettano di calcolare in maniera più veloce i parametri richiesti.