Analisi delle componenti principali: una panoramica del suo utilizzo in finanza quantitativa

Al giorno d'oggi, la crescente diffusione dei "Big-data sta avendo un impatto significativo in quasi tutti i settori e, chiaramente, il ramo finanziario non fa eccezione. Per questo motivo, sofisticate tecniche matematiche stanno facendo rapidamente breccia in varie aree della finanza, trovando, in particolare, applicazione nell'analisi finanziaria avanzata. Uno di questi concetti quantitativi, acquisito dall'Algebra Lineare, è l'Analisi delle Componenti Principali (PCA, dall’inglese). L'Analisi delle Componenti Principali è una tecnica matematica utilizzata nell’ambito della statistica multivariata. In particolare, si tratta di un modello che prevede la trasformazione di un insieme di osservazioni in un insieme di variabili non correlate: le Componenti Principali. Il processo di costruzione delle Componenti Principali fa si che la prima componente principale spieghi la più grande varianza possibile e, quindi, rappresenti la maggior parte della variabilità nei dati. Dunque, la PCA è un potente strumento di Data analysis impiegato, ad esempio, per la semplificazione dei dati d’origine e per la riduzione della dimensionalità di un insieme di osservazioni. In questo elaborato si affronterà l’argomento sia da un punto di vista strettamente teorico, sia a livello applicativo. Nello specifico, dopo aver richiamato alcune definizioni e risultati centrali dell'Algebra lineare e di Statistica, ci si proporrà di fornire una solida conoscenza teorica dell'argomento chiave della trattazione, dando una definizione di Componente Principale e riportando alcuni risultati e proprietà fondamentali. Successivamente, si applicherà l’Analisi delle Componenti Principali ai tassi di rendimento settimanali di cinque azioni, servendosi del sistema software SAS e di Matlab. Infine, si darà un’intuizione di come utilizzare tale tecnica per ridurre il rischio di portafoglio, attraverso la costruzione dei Portafogli Principali.