Analisi dell’oscillatore armonico fermionico mediante integrali di cammino su variabili di Grassmann.

In questa tesi ci si propone di studiare l’oscillatore armonico fermionico, costruito in analogia a quello bosonico ma con l’utilizzo degli operatori di creazione e distruzione fermionici. Per studiare il problema con il formalismo degli integrali di cammino è necessario introdurre gli stati coerenti fermionici, che hanno come autovalori variabili di Grassmann, numeri che anticommutano tra loro. Nella tesi vengono analizzate le proprietà di tali variabili, come il fatto che derivazione e integrazione risultino essere la stessa operazione. Si studiano dunque gli stati coerenti fermionici e le loro caratteristiche principali, quindi si costruisce l’integrale di cammino fermionico. Si calcola poi la funzione di partizione del sistema ricorrendo ai determinanti funzionali, e si osserva come il risultato ottenuto sia lo stesso di quanto si ricava studiando il problema con i metodi operatoriali, come ci si aspetta. La trattazione si conclude con un esempio di applicazione della fisica alla matematica, basata sull'osservazione che la funzione di partizione ottenuta con l’integrale di cammino e con i metodi operatoriali deve essere la stessa, che conduce ad una formula non banale sia per le oscillazioni di tipo coseno (sotto forma di produttoria infinita) sia per le oscillazioni di tipo seno (ottenuta da una trattazione simile dell’oscillatore armonico bosonico).