Metodi di analisi isogeometrica per problemi differenziali

L'analisi isogeometrica è un nuovo metodo per lo studio di problemi che coinvolgono equazioni differenziali. Questo metodo ha molte caratteristiche in comune con i metodi agli elementi finiti (FEM), ma tiene maggiormente conto della geometria del problema e trae ispirazione dal Computer Aided Design (CAD). Infatti, l'idea chiave dell'analisi isogeometrica è quella di colmare la distanza tra il CAD e il metodo agli elementi finiti descrivendo il dominio in cui il problema differenziale è definito, utilizzando funzioni base standard per il CAD, come le B-Splines o le NURBS (Non Uniform Rational B- Splines) al posto delle classiche funzioni polinomiali a tratti C0 utilizzate dai FEM. Questo perchè, in molte applicazioni dell'ingegneria, i problemi sono definiti su domini descritti da sezioni coniche che possono essere rappresentate esattamente usando le NURBS. L'analisi isogeometrica è un approccio isoparametrico, cioè lo spazio soluzione per le variabili dipendenti è rappresentato utilizzando le stesse funzioni che descrivono la geometria, e che la riproducono in modo esatto. Questa tesi si pone quindi come obiettivo lo studio di alcune tematiche collegate all'analisi isogeometrica. Inizialmente abbiamo considerato problemi di tipo ellittico nel monodimensionale, in particolare il problema di Dirichlet omogeneo, per poi affrontare lo studio di un problema differenziale di onde trasversali in una corda. Le soluzioni sono state considerate negli spazi Xhr di polinomi a tratti C0 di grado r, e nello spazio spline Sr,k, delle funzioni polinomiali a tratti di grado r e regolarità Ck, con -1≤ k ≤ r-1. Mediante l'implementazione di procedure in ambiente Matlab, abbiamo potuto osservare che i migliori risultati di approssimazione sono stati ottenuti nello spazio spline.