Problemi di ottimizzazione in economia

I have decided to focus on applications of constrained optimisation theorems to the economic behaviour of a company. Given the price and supply of each input, the price and demand of each output, and the technological relationships between inputs and outputs, the firm must decide how much to produce and what quantity of inputs to use in production in order to achieve its economic goals. To begin, the case I analyse is that of a firm in a market in perfect competition, where therefore the objective is to maximise profit, given by the difference between income and costs. Accordingly, I state and prove the theorem that gives the necessary and sufficient conditions for choosing the input vector x*, which maximises profit. From this theorem I deduce that when a firm is operating at the optimal input level, an additional unit of output brings as much profit as it costs to produce that unit. The solution of the profit maximisation problem is a function of class C^1. The function of the solution, called the firm's output supply function, is also of class C^1 and describes the amount of output the profit-maximising firm should supply when prices are p for outputs and w for inputs. I then analysed and proved a second theorem that states the properties of these two functions just mentioned. Secondly, I analysed the cost function in the theory of a firm's behaviour. A company always wants to try to produce its output as economically as possible. This is especially important in cases where the company cannot set the price p of its output, for example when it is the only supplier of that output. So I considered the problem of finding a way to minimise the cost of producing a given level of output. I then looked at a theorem that provides me with first- and second-order conditions that minimise the company's costs. In addition, I analysed the analogy of the cost function with the expenditure function in consumer theory and I analysed Shepard's lemma, which explains which functional forms are acceptable candidates to be cost functions and how to retrieve information from these about the firm's output and input demand functions. To this end, I have given an example that first illustrates how to derive a cost function and then, through the use of Shepard's lemma, how to derive a production function from the previously identified cost function. To conclude, I can say that I have dealt with two economic applications of constrained optimisation problems and have deduced that one can consider the profit maximisation theorem and the cost minimisation theorem as duals of each other, as they have many similarities.

Ho deciso di concentrarmi sulle applicazioni dei teoremi sull'ottimizzazione vincolata riguardo al comportamento economico di un'azienda. Dato il prezzo e la fornitura di ogni input, il prezzo e la domanda di ogni output e le relazioni tecnologiche tra input e output, l’azienda deve decidere quanto produrre e quale quantità di input utilizzare nella produzione in modo da raggiungere i propri obiettivi economici. In primo luogo, il caso che analizzo è quello di un'azienda in un mercato in perfetta competizione, dove quindi l'obiettivo è massimizzare il profitto, dato dalla differenza tra reddito e costi. Di conseguenza enuncio e dimostro il teorema che dà le condizioni necessarie e sufficienti per scegliere il vettore di input x*, il quale massimizza il profitto. Da questo teorema deduco che quando un’azienda è operativa al livello di input ottimale, un’unità aggiuntiva di output porta tanto guadagno quanto costa produrre quell’unità. La soluzione del problema di massimizzazione del profitto è una funzione di classe C^1. Anche la funzione della soluzione, detta funzione della fornitura di output dell’azienda è di classe C^1 e descrive la quantità di output che l’azienda che massimizza il profitto dovrebbe fornire quando i prezzi sono p per gli output e w per gli input. Ho quindi analizzato e dimostrato un secondo teorema che enuncia le proprietà di queste due funzioni appena citate. In secondo luogo, ho analizzato la funzione dei costi nella teoria del comportamento di un’azienda. Un’azienda vuole sempre cercare di produrre il suo output nella maniera più economica possibile. Ciò è specialmente importante nei casi in cui l’azienda non può fissare il prezzo p del suo output, ad esempio quando è l’unico fornitore di quel determinato output. Quindi ho considerato il problema di trovare un modo per minimizzare i costi per produrre un determinato livello di output. Ho quindi visto un teorema che mi fornisce le condizioni del primo e del secondo ordine che minimizzano i costi dell’azienda. Inoltre ho analizzato l’analogia della funzione dei costi con la funzione di spesa nella teoria del consumatore ed ho affrontato il lemma di Shepard, il quale spiega quali forme funzionali sono candidate accettabili per essere funzioni dei costi e come recuperare informazioni da queste riguardo la produzione dell’impresa e le funzioni di domanda degli input. A tal proposito ho riportato un esempio che illustra prima di tutto come derivare una funzione dei costi e poi, attraverso l’utilizzo del lemma di Shepard, come derivare una funzione di produzione a partire dalla funzione dei costi individuata in precedenza. Per concludere, posso dire di aver affrontato due applicazioni economiche dei problemi di ottimizzazione vincolata e aver dedotto che si possono considerare il teorema di massimizzazione del profitto e quello di minimizzazione dei costi come duali tra loro, in quanto presentano molte analogie.