Teoria dei campi classica ed equazioni differenziali alle derivate parziali

This thesis is divided in three sections: jet theory, classical field theory and the analysis of Cauchy problems for partial differential equations. In the first part we define some mathematical structures, such as jet bundle, useful for extending the ordinary differential equations theory to partial differential equations. Subsequently we study the classical field theory through multivariable variational calculus: in the one-dimensional case it's possible to obtain the time-dependent motion curves, corresponding to the critical curves; instead in this theory we obtain fields dependent on both spatial and temporal variables. In this context we deduce Maxwell's equations from field equations of a specific Lagrangian. Afterwards, through the characteristics theory, we study the Cauchy problems of partial differential equations. We show a theorem that assures the existence and uniqueness of the solution for these Cauchy problems. Finally we implement this theory to Maxwell's equations obtained in field theory to analyze the Cauchy problem.

La tesi è divisa in tre sezioni: teoria dei getti, teoria dei campi classica e studio dei problemi di Cauchy per equazioni differenziali alle derivate parziali. Nella prima parte definiamo alcune strutture matematiche, ad esempio il fibrato dei getti, utili per estendere la teoria delle equazioni differenziali ordinarie alle equazioni differenziali alle derivate parziali. Successivamente studiamo la teoria dei campi classica tramite il calcolo variazionale a più variabili: nel caso unidimensionale si possono ottenere le curve di moto dipendenti dal tempo, corrispondenti alle curve critiche; in questa teoria invece otteniamo campi dipendenti sia dalle variabili spaziali sia dalla variabile temporale. In questo contesto si deducono le equazioni di Maxwell dalle equazioni di campo di una specifica lagrangiana. In seguito, tramite la teoria delle caratteristiche, studiamo i problemi di Cauchy di equazioni differenziali alle derivate parziali. Trattiamo un teorema che ci assicura l’esistenza e unicità della soluzione di tali problemi di Cauchy. Infine applichiamo questa teoria alle equazioni di Maxwell ottenute in teoria dei campi per analizzarne il problema di Cauchy.