Solitoni e risoluzione dell'equazione KdV mediante Trasformata Inversa di Scattering

Il presente elaborato si propone di sviluppare la tecnica della trasformata inversa di scattering per poi mostrare come questa possa essere utilizzata per risolvere equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali, nello specifico l’equazione di Korteweg-de- Vries. Tale tecnica può essere impiegata per risolvere sistemi completamente integrabili infinito-dimensionali: la caratteristica di questi sistemi è che ammettono soluzioni molto particolari cui è associato un numero infinito di quantità conservate. Queste soluzioni sono chiamate solitoni e nel primo capitolo di questo testo sono presentate alcune del- le proprietà più importanti che li caratterizzano, assieme ad alcuni esempi di equazioni differenziali che ammettono soluzioni di questo tipo. Il capitolo successivo è dedicato a un’analisi dell’equazione di Korteweg-de-Vries: si mostrerà come da essa possano emergere soluzioni solitoniche in modo piuttosto natu- rale ed è presentato un metodo, noto come trasformazione di Gardner, che permette di computare le infinite quantità conservate ad essa associate. Nell’ultimo capitolo vengono esposti e sviluppati gli elementi che costituiscono la teoria della trasformata inversa di scattering. Si porrà particolare enfasi sull’analogia tra questa tecnica e quella della trasformata di Fourier, che ne è in un certo senso l’analogo nel caso delle equazioni differenziali lineari. Per concludere si mostra come applicando la IST all’equazione KdV si ottengano soluzioni solitoniche di vario tipo.