Numeri primi, fattorizzazione e algoritmo RSA: la matematica in soccorso a problemi pratici.

Ogni studente, sin dalle scuole primarie, viene a conoscenza dei “numeri primi” ed è capace di recitare mnemonicamente la definizione: “Un numero primo è un numero divisibile solo per 1 o per sé stesso” In pochi però conoscono la straordinarietà di questi numeri e la loro applicazione nella nostra quotidianità, in particolar modo con l’avvento del mondo digitale. Pertanto, la mia relazione di tesi si pone lo scopo di illustrare peculiarità, curiosità, ambiti di applicazione e studi effettuati da grandi matematici sui “prìncipi” della teoria dei numeri, evitando di riportare complesse dimostrazioni di teoremi che parrebbero incomprensibili ai più e scoraggerebbero la lettura. È ignota la nascita del concetto di numero primo ma reperti storici dimostrano la consapevolezza della presenza di numeri “diversi” fin dall’Antichità. Altri reperti suggeriscono la stessa intuizione da parte di popoli della Mesopotamia e dell’Egitto ma fu Euclide (Grecia, IV secolo a.C. – III secolo a.C.) nella sua opera “Elementi” a studiare i numeri primi e a fornire risultati fondamentali, tra cui il “Teorema dell’infinità dei primi” e il “Lemma di Euclide”. Gli studi ripresero nel diciassettesimo secolo grazie agli studi di Pierre de Fermat, Eulero, Gauss, Riemann e molti altri grandi matematici. Ad oggi però non sono ancora note formule chiuse per i numeri primi, ovvero espressioni per trovare tutti i numeri primi fino a N, o anche solo l'n-esimo primo senza fare ricorso né a limiti né a serie né a sommatorie. Allo stesso modo, la fattorizzazione di un numero intero è possibile solo attraverso un processo algoritmico che cresce enormemente di difficoltà con i grandi numeri. È proprio su questa difficoltà che si fondano i moderni sistemi di crittografia. Data la mia passione per l’argomento trattato, ho voluto dare anch’io un contributo nella ricerca di metodi di fattorizzazione elaborando due algoritmi alternativi che verranno descritti nel Capitolo 5.