Stati puri e miscele statistiche, aspetti algebrici e topologici

Nella descrizione di un sistema quantistico è di centrale importanza il concetto di stato, il quale racchiude tutte le proprietà intrinseche del sistema fisico considerato. In una prima formulazione della meccanica quantistica, uno stato corrisponde ad un vettore, o meglio un raggio, in uno spazio di Hilbert opportuno, tale descrizione viene poi ampliata di fronte alla necessità di descrivere sistemi di cui si ha un'informazione parziale, nel senso che si deve rinunciare alla coerenza quanto-meccanica perdendo dunque le informazioni sulle fasi. Per attuare questa generalizzazione viene introdotto l'operatore densità, tramite il quale si possono caratterizzare sia i sistemi descrivibili tramite gli stati puri (nonchè vettori in uno spazio di Hilbert) sia le miscele statistiche. Questo formalismo però presenta alcuni limiti, infatti non permette una chiara demarcazione della differenza fra stati puri e misti da un punto di vista algebrico, topologico e statistico, inoltre vi è l'impossibilità di caratterizzare alcuni sistemi, di grande importanza nella fisica moderna, ad esempio quelli in cui si presentano regole di superselezione. Pertanto, ai fini appena citati, sulla base di alcune considerazioni statistiche, si attua una riformulazione, di più ampio respiro, del concetto di stato, definendolo come un funzionale su un'apposita algebra degli osservabili, richiedendo poi che vengano soddisfatte alcune proprietà di carattere fisico. Per definire in modo rigoroso gli oggetti appena introdotti è fondamentale chiarire le proprietà algebriche degli operatori che possono identificare le osservabili dinamiche di un sistema, si mostra che le strutture algebriche consone, a questa trattazione, sono le C*-algebre. Una volta enunciata la nuova definizione di stato si osserva essere una generalizzazione del formalismo standard della meccanica quantistica e non solo, infatti è possibile individuare, come casi particolari, anche gli stati classici. Evidenziando le proprietà di questi oggetti è possibile delineare una netta distinzione fra stati puri e miscele statistiche, dal punto di vista algebrico (teorema GNS) e dal punto di vista topologico. Inoltre in questo modo è possibile trattare sistemi caratterizzati dalla presenza di regole di superselezione cosa che, come già anticipato, risulta essere impossibile tramite il formalismo della matrice densità. Infine, grazie alle proprietà dei funzionali su di una C*-algebra, accettabili come stati fisici, è possibile enunciare il teorema di Krein-Millman che garantisce per ogni sistema l'esistenza di stati puri e tutto ciò a partire dalle caratteristiche topologiche di tali oggetti.