Il Teorema del Passo Montano Finito Dimensionale e il teorema di invertibilità globale

L'esistenza di punti critici di funzionali di classe C1 a valori reali, definiti su uno spazio di Banach, è stata ampiamente studiata negli ultimi anni. Un risultato notevole in questo contesto è il Teorema del Passo Montano (anche abbreviato MPT, da Mountain Pass Theorem). Esso è un importante teorema di esistenza di punti di sella e si inserisce in un lungo processo storico di sviluppo della teoria dei punti critici, segnando l'inizio di una nuova epoca. In questa tesi verrà presentato anzitutto il MPT unidimensionale, per poi spostarsi in dimensioni superiori per mezzo di considerazioni ed esempi. Si dimostrerà il MPT finito dimensionale di Courant e lo si visualizzerà nello spazio tridimensionale, comprendendo meglio l'origine del nome: il paesaggio descritto dal teorema è "di montagna", con due valli in corrispondenza dei minimi della funzione, e il teorema fornisce condizioni sufficienti affinché la funzione possieda un terzo punto critico, che non è un minimo, e che si troverà nel punto più basso della cresta montuosa. Si estenderà poi il teorema al caso infinito dimensionale, enunciando il MPT classico di Ambrosetti e Rabinowitz e soffermandosi sull'assunzione chiave che lega questo teorema e quello di Courant: la condizione di Palais-Smale. Verrà infine presentata un'applicazione del Teorema del Passo Montano Finito Dimensionale: esso servirà infatti a dimostrare un teorema di invertibilità globale.