Il problema del tempo di primo passaggio per il processo di Ornstein-Uhlenbeck: nuovi risultati asintotici

Nella tesi inizialmente vengono introdotti i processi stocastici e le loro principali proprietà. In particolare si pone l'attenzione sui processi di diffusione, cioè una particolare classe di processi continui a tempo continuo di cui fa parte il processo di Ornstein-Uhlenbeck. Successivamente viene presentato il problema del tempo di primo passaggio per un generico processo e vengono illustrati alcuni metodi risolutivi. Il tempo di primo passaggio di un processo stocastico attraverso una data soglia è, come suggerisce il nome, l'istante in cui il processo attraversa per la prima volta un certo valore. Essendo questo un istante che non può essere determinato con certezza, il tempo di primo passaggio è di fatto una variabile aleatoria. Il problema del tempo di primo passaggio consiste quindi nel trovare la distribuzione di tale variabile. Per i processi di diffusione sono considerati qui due metodi di risoluzione: uno basato sulle trasformate di Laplace della densità di transizione del processo e della densità del tempo di primo passaggio, l'altro basato sulla risoluzione di un'equazione differenziale. Nella tesi si mostra che i metodi standard si rivelano inadatti da un punto di vista operativo per la risoluzione del problema del tempo di primo passaggio per un processo di Ornstein-Uhlenbeck. Infatti, in questo caso non è possibile risalire analiticamente alla distribuzione del tempo di primo passaggio e anche una sua approssimazione numerica comporta costi computazionali troppo alti. In situazioni tali in cui l'espressione della densità non è disponibile, molte informazioni sulla variabile possono essere desunte dai momenti del tempo di primo passaggio. Purtroppo però, le espressioni dei momenti per il processo di Ornstein-Uhlenbeck risultano complesse e, come prima, il loro utilizzo determina elevati costi computazionali. Per risolvere il problema si possono cercare delle approssimazioni per i momenti che siano più semplici delle formule esatte. Dunque l'obiettivo di questa tesi è trovare delle espressioni asintotiche per i momenti del tempo di primo passaggio di un processo di Ornstein-Uhlenbeck attraverso una soglia costante. Le espressioni vengono determinate sfruttando il legame tra i momenti e una particolare equazione differenziale, l'equazione di Darling Siegert, e sfruttando strumenti di teoria delle perturbazioni. Tali risultati sono estremamente più semplici di quelle esatte e non presentano alcuna difficoltà di implementazione, utilizzando qualunque software di calcolo o perfino il calcolo diretto. Inoltre, il procedimento illustrato nella dimostrazione, con piccole modifiche, si può applicare ad altri casi di processi di diffusione.