Alle origini della geometria non euclidea: il contributo di Carl Friedrich Gauss ( 1777 – 1855). ​

My dissertation focuses on one of the greatest mathematicians who lived between the end of the eighteenth century and the first half of the nineteenth century: Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) and is divided into three parts. After having outlined a short scientific biography of the German mathematician, I reconstruct the intellectual path that led him from his first reflections on the postulate of parallels to recognize the existence of a non-Euclidean geometry (which at first he called anti-Euclidean) that did not it has nothing contradictory in itself. Gauss did not publish anything on the subject, but there is evidence of his research in some manuscripts and in correspondence with mathematicians of his time (W. Bolyai, F. Schweikart, F. Taurinus, ...). The central part of the thesis concerns some contributions of Gauss to the theory of the intrinsic geometry of a surface as it emerges from the fundamental work "Disquisitiones generales circa superficies curvas" (1828). In particular, I dwell on the concepts of "total curvature" and "measure of curvature" (Gaussian curvature) introduced by Gauss and on two important results obtained by him: the Theorema Egregium with which he demonstrates that the Gaussian curvature is an intrinsic property of a surface, and the Gauss-Bonnet theorem which links the sum of the internal angles of a geodesic triangle to its total curvature.

La mia dissertazione è incentrata su uno dei più grandi matematici vissuti tra la fine del Settecento e la prima metà dell'Ottocento: Carl Friedrich Gauss ( 1777 – 1855) e si articola in tre parti. Dopo aver delineato una breve biografia scientifica del matematico tedesco, ricostruisco il percorso intellettuale che lo hanno portato dalle prime riflessioni sul postulato delle parallele a riconoscere l'esistenza di una geometria non-euclidea (che in un primo tempo chiama anti-euclidea) che non ha in sé nulla di contraddittorio. Gauss non pubblicò nulla in merito, ma è rimasta testimonianza delle sue ricerche in alcuni manoscritti e nella corrispondenza con matematici del suo tempo (W. Bolyai, F. Schweikart, F. Taurinus, ...). La parte centrale della tesi riguarda alcuni contributi di Gauss alla teoria della geometria intrinseca di una superficie quale emerge dall'opera fondamentale "Disquisitiones generales circa superficies curvas" (1828). In particolare mi soffermo sui concetti di "curvatura totale" e "misura della curvatura" (curvatura gaussiana) introdotti da Gauss e su due importanti risultati da lui ottenuti: il Theorema Egregium con il quale dimostra che la curvatura gaussiana è una proprietà intrinseca di una superficie, e il teorema di Gauss-Bonnet che lega la somma degli angoli interni di un triangolo geodetico alla sua curvatura totale.