Intersezione di Varietà

L'obiettivo di questo testo è arrivare a trattare la teoria dell'intersezione di varietà differenziabili, per poi applicarla all'interno della dimostrazione del teorema di Poincaré-Hopf. La trattazione comincia introducendo il concetto di trasversalità e, grazie all'omotopia, asse portante di queste venti pagine, alcune conseguenze. Successivamente, viene la nozione di orientazione, che si rivelerà cruciale nel capitolo 4. L'obiettivo dei capitoli seguenti è lo sviluppo di un indice di intersezione invariante per omotopia. In particolare, se si considerano due varietà trasverse di dimensione complementare rispetto allo spazio ambiente in cui sono immerse, l'intersezione è un numero finito di punti, quindi è possibile definire un numero di intersezione, legato appunto alla cardinalità dell'intersezione delle due varietà. Senza l'orientazione, il primo tentativo di questa definizione, la cardinalità dell'intersezione mod 2 , porta ad un risultato rozzo, in quanto durante il processo di definizione vengono naturalmente perse troppe informazioni. Tuttavia, l'aggiunta dell'orientazione risolve il problema e porta a un risultato che si vedrà non essere troppo distante dalla caratteristica di Eulero. L'intera tesi è intenzionalmente caratterizzata da una trattazione non troppo puntigliosa: di molti lemmi e teoremi non viene proposta una dimostrazione e quando invece sono presenti, spesso rappresentano più l'idea del processo che una dimostrazione rigorosa.