Numeri di avvolgimento e primo gruppo di omologia

L'obiettivo di questa tesi è lo studio del primo gruppo di omologia, in particolare mostrare come attraverso i numeri di avvolgimento è possibile caratterizzare questo invariante topologico per particolari famiglie di sottoinsiemi del piano. Nel primo capitolo si introduce il concetto di numero di avvolgimento per un cammino e se ne a studiano le proprietà, in particolare il comportamento rispetto all'omotopia di cammini. Nel secondo capitolo si passa a definire la nozione di gruppo delle 1-catene, gruppo degli 1-cicli e gruppo degli 1-bordi per sottoinsiemi del piano e attraverso questi si introduce il primo gruppo di omologia per un sottoinsieme del piano. Si generalizzano poi i numeri di avvolgimento per le 1-catene e si dimostra che valgono proprietà analoghe a quelle trovate per i cammini. Si procede infine a dimostrare che i numeri di avvolgimento caratterizzano le classi di omologia per gli aperti del piano. Nel terzo capitolo si generalizza il concetto di primo gruppo di omologia a spazi topologici qualsiasi. Si procede dimostrando che per spazi c.p.a. il primo gruppo di omologia è isomorfo all'abelianizzato del primo gruppo fondamentale e studiando il caso in cui lo spazio non sia connesso per archi. Si conclude infine con il calcolo di questi due gruppi per alcuni spazi topologici, fra cui le superfici topologiche compatte.