Il vettore di Laplace-Runge-Lenz e l'importanza delle simmetrie in fisica

The paper aims to describe the use of the Laplace-Runge-Lenz vector to solve the classic Kepler problem and to obtain the energy spectrum of the hydrogen atom in quantum mechanics. In both problems this vector is a conserved quantity and can therefore be exploited for their resolution. In the Kepler problem, this approach allows to reach the solution much more easily than the standard treatment. On the other hand, in the hydrogen atom it allows to understand the degeneration of the energy spectrum, which, only through the conservation of the angular momentum, cannot be fully explained. Finally it is observed that the symmetry connected to the Laplace-Runge-Lenz vector through the Noether theorem is a rotational invariance in four dimensions. The latter is brought to light in both problems through stereographic projection and allows to conclude that they are equivalent to that of a free particle confined on the unitary four-dimensional sphere.

L'elaborato vuole descrivere l'utilizzo del vettore di Laplace-Runge-Lenz per risolvere il problema classico di Keplero e per ottenere lo spettro energetico dell'atomo di idrogeno in meccanica quantistica. In entrambi i problemi tale vettore è una quantità conservata e può essere quindi sfruttata per la loro risoluzione. Nel problema di Keplero, questo approccio permette di giungere alla soluzione molto più agevolmente rispetto alla trattazione standard. Nell'atomo di idrogeno esso permette invece di comprendere la degenerazione dello spettro energetico, che, solo tramite la conservazione del momento angolare, non può essere completamente spiegata. Infine si osserva che la simmetria collegata al vettore di Laplace-Runge-Lenz tramite il teorema di Noether è un'invarianza rotazionale in quattro dimensioni. Quest'ultima viene portata alla luce in entrambi i problemi tramite la proiezione stereografica e permette di concludere che essi siano equivalenti a quello di una particella libera confinata sulla sfera unitaria quattro-dimensionale.