Cubiche lisce e legge di gruppo

L'oggetto di studio di questa tesi sono le cubiche lisce nel piano proiettivo complesso, ovvero le curve algebriche piane proiettive di ordine 3 senza punti singolari. Esse sono particolarmente interessanti perché, una volta fissato un loro punto O, può essere definita un'operazione commutativa che rende i punti di tali cubiche un gruppo. Nel primo capitolo si introducono alcuni prerequisiti di geometria proiettiva e algebrica, fondamentali per sviluppare la teoria successiva. Il secondo capitolo è dedicato allo studio delle cubiche lisce dal punto di vista geometrico: si dimostra che grazie all'esistenza di punti di flesso ogni cubica liscia può essere riscritta in due forme semplificate, dette forma di Legendre e forma normale di Weierstrass. Nel terzo capitolo si definisce un'operazione che rende i punti di una cubica liscia un gruppo abeliano. Tale operazione viene introdotta prima attraverso il suo significato geometrico e poi mediante conti espliciti quando la cubica è in forma di Weierstrass. Nell'ultimo capitolo, infine, si illustra l'applicazione delle cubiche lisce nel campo della crittografia. Dopo un'introduzione generale alla crittografia a chiave pubblica, si passa a studiare le cubiche lisce su campi finiti e si illustrano poi alcuni protocolli crittografici che le utilizzano.