Una classe di spline algebrico-trigonometriche: curve e superfici xyB

Nell'ambito della grafica sono stati sviluppati numerosi metodi per costruire e modellare curve e superfici, utili per rappresentare in modo accurato oggetti nello spazio. In particolare, tra quelli più frequentemente utilizzati, si ritrovano le curve e le superfici B-spline e NURBS ("Non Uniform Rational B-Splines"), la cui applicabilità presenta, però, dei limiti. Per superarli sono stati introdotti negli ultimi anni nuovi metodi, tra cui una classe di curve e superfici algebrico-trigonometriche, dette xyB-spline, che saranno esaminate in questa tesi. Questo modello non solo preserva la maggior parte delle proprietà delle B-spline cubiche, ma offre anche numerosi vantaggi in più. Infatti, fissando i punti di controllo, la forma di curve e superfici xyB-spline può essere modificata grazie all'introduzione dei parametri x e y. Inoltre, possono essere riprodotte in modo esatto alcune coniche e curve trascendenti, oltre che superfici di rotazione e superfici con sezioni ellittiche. In aggiunta, con le xyB-spline si possono risolvere due problemi molto diffusi nella modellazione grafica, senza dover eseguire calcoli complicati: come trovare una curva tangente ad un poligono assegnato inizialmente e come costruire una curva che interpoli automaticamente un insieme di punti dati. Nel primo e secondo capitolo della trattazione sono definite le funzioni xyB e le curve xyB-spline e sono analizzate le loro proprietà. Nel terzo capitolo sono studiati due metodi per creare, nel primo caso, una curva xyB-spline tangente ad un poligono dato e, nel secondo, una curva xyB-spline interpolante un insieme di punti. Nel quarto capitolo sono descritte le superfici di tipo tensore prodotto xyB-spline e sono accennate le loro proprietà. Infine, lungo tutta l'esposizione sono forniti anche i codici Matlab e le funzioni richiamate in essi, per ottenere le figure e gli esempi riportati e visualizzare i risultati teorici.