Integrabilità e sviluppo perturbativo in teoria di gauge

In this thesis I introduce the concept of integrability, the mathematical techniques of Bethe Ansatz (and its generalizations) and supersymmetric Yang Mills $\mathcal{N}$=4, which is central in the $AdS_5/CFT_4$ correspondence. In particular I give a brief description of the path that leads to the solution of SYM by means of a system of functional equations, known as $\bP\mu$-system. The solution of this system is obtained in a perturbative way, thanks to an iterative algorithm that provides the n-th order of the expansion. The aim is to generalize this procedure and adapt it for the ABJM theory, for which a similar $\bP\mu$-system exists and which is essential for the $AdS_4/CFT_3$ correspondence. Finally, I confront the obtained results with those which are already known, present the new ones and discuss the possible direction to expand this work.

In questa tesi si introducono il concetto di integrabilità, le tecniche matematiche del Bethe Ansatz (e le sue varianti) e la teoria di Yang Mills supersimmetrica $\mathcal{N}$=4, la quale si colloca nel contesto della corrispondenza $AdS_5/CFT_4$. In particolare si fornisce una trattazione schematica del percorso che porta alla soluzione di SYM tramite un sistema di equazioni funzionali, noto come $\bP\mu$-system. La risoluzione di questo sistema è ottenuta in maniera perturbativa grazie ad un algoritmo iterativo capace di produrre l'ordine n-esimo dello sviluppo. L'obiettivo è quello di generalizzare questa procedura ed adattarla alla teoria ABJM, per la quale esiste un $\bP\mu$-system simile a quello di SYM e che si inserisce nella corrispondenza $AdS_4/CFT_3$. Infine si confrontano i risultati ottenuti con quelli già noti, si espongono quelli nuovi e si discutono possibili direzioni in cui sviluppare questo lavoro.