RAPPRESENTAZIONI INTEGRALI DI TRASFORMAZIONI AFFINI SULLO SPAZIO DELLE FASI

L'obiettivo della tesi è fornire una formula di rappresentazione integrale per gli operatori metaplettici, che sono una classe di operatori di cui fanno parte alcuni tra gli strumenti più usati in analisi dei segnali tra cui la la trasformata di Fourier frazionaria (FRFT). Essi sono operatori unitari, definiti sullo spazio $L^2(\mathbb R^d)$, la cui azione corrisponde ad una trasformazione lineare nel piano di Wigner $WP_d$, lo spazio delle fasi $2d-$dimensionale legato alla distribuzione di Wigner per funzioni di $d$ variabili. Ad esempio, per la FRFT, questa trasformazione lineare consiste nella composizione di rotazioni delle variabili. In generale, la trasformazione prodotta dall'operatore metaplettico è descritta da una matrice simplettica $2d\times 2d$. Ricordiamo che formule di rappresentazione integrale per operatori metaplettici, relativi a matrici simplettiche aventi blocchi $d\times d $ non singolari, si trovano nel libro di Folland \cite{2}. Un lavoro significativo è stato svolto da N.G de Bruijin \cite{16} che, nel 1973, diede una caratterizzazione completa degli operatori unitari i quali, definiti su precisi spazi di funzioni, producono trasformazioni lineari nello spazio delle fasi due-dimensionale corrispondenti alla distribuzione di Wigner. Egli mostrò che una condizione necessaria e sufficiente per il determinante delle matrici associate a tali trasformazioni è che esso assuma valore 1 e trovò una formula integrale esplicita per descrivere i corrispondenti operatori unitari. Tuttavia, il suo lavorosi limitava a trattare il caso di funzioni univariate. Più tardi, nel 1977, G.M.M. Frederix generalizzò la teoria di de Brujin: dimostrò che le trasformazioni lineari nel piano di Wigner $WP_d$ sono riconducibili all'azione di operatori unitari se e solo se tali trasformazioni possono essere descritte da matrici simplettiche $2d\times 2d$. Inoltre, Frederix non si limitò a fornire una formula integrale per alcuni casi particolari, ma propose anche un metodo con il quale ottenere le componenti per costruire una formula integrale nel caso generale. In particolare, egli osservò che era conveniente sostituire l'integrale in $\mathbb R^d$ con integrali $l-$dimensionali, dove $l$ è il rango di una specifica sottomatrice di decomposizione in blocchi della matrice simplettica relativa all'operatore metaplettico. Ispirandosi al lavoro di Frederix, Morsche e Oonincx ottengono una rappresentazione integrale per ogni operatore metaplettico. Questa tesi studia il lavoro di Morsche e Oonincx, riportando i dettagli, talvolta mancanti, di questi argomenti. Per giungere alla formula di rappresentazione, nella trattazione seguente, saranno introdotte le matrici simplettiche ed alcune proprietà, poco note, che tali matrici soddisfano. Inoltre, pur partendo da nozioni di teoria dei gruppi di Lie, questa tesi fornisce una rappresentazione integrale per operatori metaplettici che risulta slegata da tali nozioni. La formula integrale conterrà, come domini di integrazione, degli specifici sottospazi di $\mathbb R^d$ e coinvolgerà costanti relative a volumi di simplessi. Seguendo la trattazione, sarà molto chiaro che, sia le costanti sia i domini di integrazione appena menzionati discendono in modo diretto dalle sottomatrici in cui viene decomposta la matrice simplettica associata all'operatore metaplettico da rappresentare. Infatti, la formula di rappresentazione sarà ricavata nel modo suggerito da Frederix, a cui si è accennato.