Recenti sviluppi circa le confidence distributions

Le distribuzioni di confidenza rappresentano uno strumento utile e onnicomprensivo per l'approccio frequentista all'inferenza statistica. La loro importanza è stata per lungo tempo sottostimata dalla comunità statistica probabilmente a causa delle notevoli analogie tra tali distribuzioni e le distribuzioni fiduciali di Fisher. Sebbene in effetti esista un legame tra i due oggetti, la nozione di distribuzione di confidenza è stata completamente reinterpretata in termini puramente frequentisti e oggi una distribuzione di confidenza è considerata uno "stimatore per distribuzione" del parametro di interesse e non come un'intrinseca distribuzione di probabilità del parametro stesso. In un recente articolo Singh, Xie e Strawderman hanno tentato di generalizzare la nozione di distribuzione di confidenza in modo tale da rendere applicabile questo strumento anche in modelli nei quali il parametro di interesse è esso stesso aleatorio (nello stile della statistica Bayesiana) e hanno mostrato come grazie alle distribuzioni di confidenza sia estremamente semplice incorporare informazioni a priori sul parametro di interesse con informazioni contenute nei dati in un unica distribuzione di confidenza a posteriori. L'intento in questo caso è quello di offrire una metodologia alternativa in tutte quelle circostanze nelle quali i metodi Bayesiani sono ritenuti eccessivamente complessi (analiticamente o computazionalmente) per il problema in esame. Le distribuzioni di confidenza trovano anche impiego nell'ambito della meta analisi. In particolare esistono combinazioni efficienti di distribuzioni di confidenza ottenute da esperimenti indipendenti nei quali il parametro di interesse è lo stesso che sintetizzano l'intera informazione disponibile in un'unica distribuzione di confidenza combinata. In questa tesi viene reintrodotta la definizione di distribuzione di confidenza, vengono delineati alcuni criteri di ottimalità e di confronto, sono presentati alcuni metodi generali per derivare una distribuzione di confidenza quando nel modello è disponibile una quantità pivotale e sono forniti alcuni metodi di combinazione per l'utilizzo nell'ambito della meta analisi. Per questi metodi di combinazione vengono inoltre discussi alcuni risultati di ottimalità. Nella tesi discutiamo inoltre la definizione generalizzata di distribuzione di confidenza secondo Singh, Xie e Strawderman e analizziamo i vantaggi che l'utilizzo delle distribuzioni di confidenza può avere sui metodi Bayesiani in alcuni casi. Alcune caratteristiche di robustezza del metodo di combinazione di informazione a priori e informazione ottenuta dai dati sono brevemente discusse. Per concludere viene analizzata una recente applicazione delle distribuzioni di confidenza nell'ambito di un trial clinico randomizzato con variabile risultato binaria: viene effettuata un'analisi comparata della performance del metodo basato sulle distribuzioni di confidenza a posteriori rispetto ad alcuni metodi Bayesiani parametrici standard e viene evidenziato un interessante e controintuitivo fenomeno che riguarda la posizione estrema assunta dalla distribuzione a posteriori ottenuta secondo l'approccio Bayesiano tradizionale rispetto alle corrispondenti distribuzione a priori e funzione di verosimiglianza.

Confidence distributions represent a useful and comprehensive tool for frequentist statistical inference. Their importance has been long underestimated by the statistical community largely because of their relationship with Fisher's fiducial distributions. Although the connection with fiducial distributions exists, confidence distributions have been rigorously and coherently redefined in a purely frequentist framework, so they should now be regarded as a ¿distribution estimator¿ of the parameter of interest, rather than its inherent probability distribution. A recent paper by Singh, Xie and Strawderman attempts to generalize the notion of confidence distribution to allow for random parameters of interest and shows how confidence distribution may potentially represent a very convenient alternative to standard Bayesian procedures when the researcher wants to merge available prior information and information coming directly from data into a single distribution (confidence distributions posterior). Confidence distributions also prove themselves effective for meta-analysis; in particular appropriate combinations of confidence distributions can effectively exploit the information that a series of independent experiments contains about a common parameter. In the present thesis we reintroduce the notion of confidence distribution, discuss some efficiency and optimality criteria, present some general recipes to obtain confidence distributions for standard parametric inferential problems and provide some combinations methods that allow to obtain combined confidence distributions for the purpose of meta-analysis. Optimality results related to these combination methods are also described. We briefly discuss a generalized definition of confidence distribution that leads to a Bayesian-like inferential strategy, then we investigate the advantages that this strategy may have over standard parametric Bayesian inference and we provide a bound that guarantees robustness of confidence distribution posteriors to model misspecification. Finally we analyze a recent application to clinical trials that highlights the potential advantages of the use of confidence distributions over pure Bayesian methods. The application also raises the problem of an interesting ¿outlying posterior phenomenon¿ in the Bayesian analysis of clinical trials with binary outcomes.