Proprietà topologiche di ipersuperfici proiettive

In questo lavoro si sono studiate alcune tra le principali proprietà topologiche delle ipersuperfici proiettive. Nel primo capitolo si sono descritti i principali strumenti utilizzati nella tesi e si sono fissate le notazioni. Nel secondo capitolo si sono studiate le ipersuperfici lisce. In questo caso si è mostrato come, fissato il grado, queste sono tutte diffeomorfe tra loro. In particolare si è calcolata la coomologia di un'ipersuperficie liscia nello spazio proiettivo complesso. L'unico gruppo di coomologia non determinato dalla coomologia proiettiva è l'(n-1)-esimo, e quindi è stata fornita una formula per il calcolo del suo rango. Nel terzo capitolo si è passati al caso di ipersuperfici proiettive con singolarità isolate. Per prima cosa si è osservato come le classi di omeomorfismo di quest'ultime formino un insieme finito. Successivamente si sono descritte alcune costruzioni locali dovute a Milnor e si è passati allo studio della coomologia. Rispetto al caso liscio, la principale differenza è dovuta al fatto che ci sono due gruppi di coomologia che non sono determinati dalla coomologia proiettiva. Questi sono l'(n-1)-esimo e l'n-esimo. Si è esplicitata dunque una formula per il calcolo della caratteristica di Eulero, in modo da ottenere la differenza dei due numeri di Betti non determinati da quelli dello spazio proiettivo complesso. Nel quarto e ultimo capitolo sono stati forniti dei casi particolari di ipersuperfici con singolarità isolate. Il primo caso è stato quello delle curve piane, dove si è mostrato come la topologia dipenda solo dal grado della curva, dal numero di singolarità e dal loro tipo. Successivamente si sono considerate delle particolari superfici dove, rispetto al caso delle curve, abbiamo una dipendenza della topologia dalla posizione delle singolarità. Infine come ultimo caso sono state considerate le ipersuperfici nodali, ed è stata esplicitata la loro coomologia dividendo il lavoro in base alla parità dello spazio proiettivo ambiente.