Indice di Fredholm, biforcazione e applicazioni a equazioni differenziali nonlineari

In questa tesi ho affrontato inizialmente il concetto di grado topologico partendo dal grado di Brouwer in dimensione finita che consente di introdurre il grado di Leray-Schauder, analogo in dimensione infinita. Questo ci permette di dimostrare il noto teorema di biforcazione di Rabinowitz per operatori compatti e di applicarlo ad un problema ai limiti nonlineare di tipo Sturm-Liouville, dimostrando l'esistenza e caratterizzando tali rami di biforcazione. Nel secondo capitolo mostriamo la generalizzazione del grado topologico per operatori di Fredholm di indice zero, anche attraverso la definizione del concetto di parità. Tale grado consente di enunciare un analogo risultato di biforcazione per tali operatori. Infine l'ultimo capitolo è dedicato all'applicazione di tale teorema a due diversi tipi di problema: un'equazione ellittica asintoticamente periodica in R^N e un sistema hamiltoniano in R. Vedremo quali sono le ipotesi necessarie da porre per poter applicare tali teoremi che garantiscono l'esistenza di rami di biforcazione.