Introduzione alle Wavelets

The present work aims to define as fully as possible the theory linked to Wavelets, a tool of time-frequency analysis developed over the last 20 years of the last century, but greatly strengthened and studied so much so that its documentation is substantial and varied. This thesis aims to treat the matter as fully as possible. For this reason the first two chapters set the stage for what follows, so they deal with convergence, basis and frames, e in general they outline the context in which the wavelets born and developed, delineating the evolution from Fourier analysis to time-frequency analysis and its instruments. In the third chapter, the heart of this work, wavelets are introduced and analyzed from various points of view, with particular attention to the wavelet orthonormal. Chapter Four, finally, gives a slightly more practical aspect to the treatment, showing an example of application of wavelets in image decomposition and recostruction using the Matlab program and in particular the Wavelet Toolbox, specially created for the analysis of signals via the use of wavelets.

Il presente lavoro di tesi si propone di delineare nel modo più esauriente possibile la teoria legata alle Wavelets. Si tratta di uno strumento recente dell'analisi tempo-frequenza, sviluppatosi negli ultimi 20 anni del secolo scorso, ma fortemente potenziato e studiato tant'è che la documentazione a riguardo è consistente e di varia natura. Questa tesi si pone l'obiettivo di trattare l'argomento quanto più esaustivamente possibile. Per questo motivo si è deciso, nei primi due capitoli, di gettare le basi per la comprensione successiva, ovvero si sono approfondite le nozioni di convergenza, base, frame, e più in generale si è voluto tratteggiare il contesto in cui si sono sviluppate le wavelets, quindi si è brevemente delineata l'evoluzione dall'analisi in frequenza o di Fourier all'analisi in tempo-frequenza, soffermandosi sull'importanza di quest'ultima e sugli strumenti a sua disposizione. Nel terzo capitolo, vero nucleo di questo lavoro, si sono introdotte e analizzate le wavelets sotto vari punti di vista, con particolare attenzione alle wavelet ortonormali. Nel capitolo quattro infine si è deciso di dare un risvolto leggermente più pratico alla trattazione, mostrando un esempio di applicazione delle wavelets nella decomposizione e ricostruzione delle immagini utilizzando il programma Matlab e in particolare il Toolbox Wavelet, appositamente creato per l'analisi di segnali tramite l'uso delle wavelet.